האם אפשר להוכיח לוגית שהאלוהים הספציפי של היהדות קיים? (לא בכללי) אם כן אז תנו את ההוכחה שלכם מעניין אותי לדעת

בקצרה- לא.
באריכות- ליקוטי עצות ערך אמת ואמונה אות ד' (מתוך ליקוטי מוהר"ן תורה ה'):

אי אפשר לבוא לאמונה כי אם על ידי אמת (הינו כי עיקר האמונה אינה אלא במה שאין הושכל מבין, כי במקום שהשכל מבין אין שייך אמונה, ואם כן כשאין הושכל מבין, מהיכן יבוא להאמין במה שצריך להאמין, על כן עיקר האמונה תלויה באמת, שאם ירצה האדם להסתכל על האמת לאמתו יבין מאליו, שצריכין להאמין האמונה הקדושה בשם יתברך ובצדיקים האמתיים ובתורתו הקדושה, אף על פי שאי אפשר להבין בשכלנו המגושם, כי על ידי הסתכלות על האמת בעין האמת, יבין מרחוק שהאמת הוא כך רק שאי אפשר להבין בשכל וצריכין רק להתחזק באמונה שלמה. והבן היטב)

כן.

שואל השאלה:
^אתה יכול להראות את זה?

אף פעם לא חיפשתי יותר מידי הוכחות (למרות שאני כן מאמינה שאמונה צריכה להיות מבוססת גם מבחינה רציונלית אבל אף פעם לא יצא שהיה לי ספק בזה אז לא הרגשתי צורך)
בגלל זה לא ממליצה לך מניסיון אבל המון מדברים על הסרטונים של הרב זמיר כהן שמסביר (יש לו הוכחות נבואות מדע וכל מיני נושאים)
גם הרב אהרן לוי מדבר מאוד בהגיון, מאוד מתאים גם לחילונים (חכם מאוד, אצלו זה יותר מבחינה דתית כמו איך יש לנו עדיין בחירה חופשית ועל הר סיני ועוד, יש לו סדרת פודקאסטים "אחד על אחד הרב אהרן לוי ומושיקו שטרן" מעניין מאוד וגם שם הרב מדבר מאוד בהגיון)

תפנה אלי בפרטי, אנסה לעזור לך בעזרת ה' בלי נדר (רק אם אתה באמת רוצה ללמוד)