כשמחליפים בין פונקציה לגרף הנגזרת הנקודות חיתוך עם ציר הy נשארות אותו דבר?

לא

לא.
הדבר היחיד שמשותף להן זה נקודות הקיצון, ותחומי עלייה וירידה.

כשלפונקציה יש קיצון - לנגזרת יש חיתוך ציר x.
כשהפונקציה עולה/יורדת - הנגזרת חיובית/שלילית בהתאמה.

לא. בגלל שהפונקציה שונה אז ה0 שתציבי בנגזרת יהיה בדרך כלל שונה מערכו בפונקציה המקורית.