כשמחליפים בין פונקציה לגרף הנגזרת הנקודות חיתוך עם ציר הy נשארות אותו דבר?

לא

לא. בגלל שהפונקציה שונה אז ה0 שתציבי בנגזרת יהיה בדרך כלל שונה מערכו בפונקציה המקורית.

לא.
הדבר היחיד שמשותף להן זה נקודות הקיצון, ותחומי עלייה וירידה.

כשלפונקציה יש קיצון - לנגזרת יש חיתוך ציר x.
כשהפונקציה עולה/יורדת - הנגזרת חיובית/שלילית בהתאמה.