הוכחות למשפט "מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות"/"מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזויות"?

מרכז מעגל חוסם:
ציירי מעגל
סמני עליו 3 נקודות
תיצרי משולש
תחברי את מרכז המעגל עם כל קודקוד של המשולש
ידוע שכל קטע כזה זה רדיוס ולכן כולם שווים

אז 3 המשולשים שנוצרים בתוך המשולש הם שווי שוקיים כיוון שהצלעות שלהם זה רדיוסים
אם תורידי תיכון/אנך מהמרכז לכל צלע של המשולש הגדול, בעצם זה יהיה גם אנך וגם תיכון כי זה גובה או תיכון במשולש שווה שוקיים שיורד לבסיס וללכן הוא גם גובה וגם תיכון
קיבלנו שהאנכים האמצעיים (קטעים שאנכים לצלעות וחוצים אותם ל-2 קטעים שווים) מתלכדים בדיוק במרכז מעגל (כי האנכים האמצעיים הם בדיוק התיכונים/גבהים במשולשים הקטנים בתוך המשולש הגדול)

מרכז מעגל חסום:
ציירי משולש
תעשי בתוכו מעגל חסום.
מהמרכז של המעגל תורידי רדיוסים לנק' ההשקה של המשולש (הם אנכים). תציירי גם את הקטעים שמחברים בין הרדיוס לכל קודקוד של המשולש
תקבלי 6 משולשים בתוך המשולש הגדול, קל לראות ש-2 משולשים שיש להם אותו קודקוד של המשולש הגדול הם חופפים ואז תקבלי 3 זוגות של משולשים חופפים ואז מחפיפת משולשים תקבלי שהקטעים המחברים בין רדיוס לקודקוד משולש גדול הם חוצי זווית!