למה יש אינסוף מספרים ראשוניים?

כי יש אינסוף מספרים אז יש גם איןסוף ראשוניים

שואל השאלה:
זה לא מוכיח כלום!

ההוכחה מאוד פשוטה:

נניח בשלילה שיש מספר סופי של ראשוני. אזי, קיים מספר ראשוני הכי גדול. נקרא לו p

נסתכל על המספר2*3*5*7*11*13*..*p (כפל של כל הראשוניים. אנחנו מניחים שיש p הכי גדול ולכן אפשר לכפול את כולם וזה לא כפל אינסופי או משהו) ולמספר הזה נוסיף 1. למספר החדש שנוצר נקרא p1
p1 לא מתחלק ב-2, לא מתחלק ב- 3, לא מתחלק ב-5, לא ב-7 ובעצם לא מתחלק באף גורם ראשוני. ידוע שכל מספר פריק מתחלק בגורמים ראשוניים שקטנים ממנו, אבל המספר p1 לא מתחלק באף ראשוני שקטן ממנו ולכן p1 ראשוני.

אבל רגע! p1 גדול מ-p ואמרנו ש- p הראשוני הכי גדול אבל בעצם קיבלנו ש- p1 ראשוני יותר גדול. קיבלנו סתירה!
לכן, לא קיים ראשוני הכי גדול, ולכן יש אינסוף מספרים ראשוניים.