3 תשובות
הוכחה מאוד נחמדה. המורים לא מלמדים את זה, אבל יש אותה בספר של יואל גבע, אני קראתי אותה והיא אכן הייתה מעניינת ביותר.
שואל השאלה:
https://ibb.co/fmz3vlt
https://ibb.co/fmz3vlt
שואל השאלה:
זה כל הבסיס שהיינו צריכים, יש לנו את שיעורי הנקודות a,b,c,d,e ויש לנו קצת משולשים וכזה.
נחשב קצת שטחים:
1) השטח של abc שזה ac*bd/2 שזה יוצא sin(a)/2.
2) השטח של גזרת המעגל של הקשת bc הוא
בעצם [שטח המעגל] כפול החלק היחסי של a מתוך הזווית של 2pi (שזו זווית של 360 בעיקרון), אז זה בעצם
pi*(1^2)]*(a/2pi)=a/2].
3) השטח של aec שזה ec*ac/2=tan(a)/2.
ידוע לנו שהשטח השלישי יותר גדול מהשני שיותר גדול מהראשון (ממש רואים בשרטוט וזה גם נכון בלי קשר), לכן:
sin(a)/2<a/2<tan(a)/2
נכפול את כל אלו פי 2 ונחלק אותם פי sin(a) (שזה יותר גדול מ0 אז אי השיוויון נותר זהה):
what 1/cos(a)>a/sin(a)>1
נשאיף את a ל0, כלומר נטען a->0 מהכיוון החיובי (כי a>0 בשרטוט שלנו), ונקבל שה1 מימין שואף מן הסתם ל1 כי הוא לא תלוי בa, ומשמאל נקבל 1 חלקי cos(0) שזה כמו 1/1=1. קיצור:
what 1>[a->0+]a/sin(a)>1
מכאן שהגבול הזה הוא בין 1 לבין 1, זאת אומרת שהוא חייב להיות פשוט שווה ל1!
הערה: אפשר לצייר את אותו השרטוט במראה הרביע הרביעי של מערכת הצירים ואז לקבל את אותו הגבול עבור -a->0, יעני מהכיוון השלילי של 0.
זאת ההוכחה של המגניבים, תהיו הייטרים של לופיטל (עד שאתם מוכיחים את כלל לופיטל ואז תהיו חברים שלו).
נאמנים תהיו נחמדים צאו.
זה כל הבסיס שהיינו צריכים, יש לנו את שיעורי הנקודות a,b,c,d,e ויש לנו קצת משולשים וכזה.
נחשב קצת שטחים:
1) השטח של abc שזה ac*bd/2 שזה יוצא sin(a)/2.
2) השטח של גזרת המעגל של הקשת bc הוא
בעצם [שטח המעגל] כפול החלק היחסי של a מתוך הזווית של 2pi (שזו זווית של 360 בעיקרון), אז זה בעצם
pi*(1^2)]*(a/2pi)=a/2].
3) השטח של aec שזה ec*ac/2=tan(a)/2.
ידוע לנו שהשטח השלישי יותר גדול מהשני שיותר גדול מהראשון (ממש רואים בשרטוט וזה גם נכון בלי קשר), לכן:
sin(a)/2<a/2<tan(a)/2
נכפול את כל אלו פי 2 ונחלק אותם פי sin(a) (שזה יותר גדול מ0 אז אי השיוויון נותר זהה):
what 1/cos(a)>a/sin(a)>1
נשאיף את a ל0, כלומר נטען a->0 מהכיוון החיובי (כי a>0 בשרטוט שלנו), ונקבל שה1 מימין שואף מן הסתם ל1 כי הוא לא תלוי בa, ומשמאל נקבל 1 חלקי cos(0) שזה כמו 1/1=1. קיצור:
what 1>[a->0+]a/sin(a)>1
מכאן שהגבול הזה הוא בין 1 לבין 1, זאת אומרת שהוא חייב להיות פשוט שווה ל1!
הערה: אפשר לצייר את אותו השרטוט במראה הרביע הרביעי של מערכת הצירים ואז לקבל את אותו הגבול עבור -a->0, יעני מהכיוון השלילי של 0.
זאת ההוכחה של המגניבים, תהיו הייטרים של לופיטל (עד שאתם מוכיחים את כלל לופיטל ואז תהיו חברים שלו).
נאמנים תהיו נחמדים צאו.
באותו הנושא: