עזרה במתמטיקה-בעיות קיצון - קישור מצורף

שאלה 4:
x+x^2=min
(x+x^2)'=min
(1+2x) = min
2x+1 = 0
2x = - 1
x = - 0.5

נראה לי

5) f(x)=x-x^2

f'(x)=1-2x=0

x=0.5

הנגזרת השנייה שלילית ולכן זה מקסימום מקומי, התוצאה היא f(0.5)=0.25


6) א. y=12-2x

ב.xy= x*(12-2x)=12x-2x^2

ג. נקרא למכפלה הזאת f, ונגזור אותה:
f'(x)=12-4x=0
x=3
שוב הנגזת השנייה שלילית ומכאן שזה מקסימום מקומי, אז y=12-2x=6.

ד. תכלס יש רק מקסימום מקומי, אז הקיצון הנוסף יכול להיות אך ורק בערכי הקצה:
f(1)=10, f(5)=10, לכן הערכים המינימלים הם גם בx=1 וגם בx=5, והערך הוא f(x)=10.


9) נתון: x+y=5, כלומר y=5-x.

רצוי שנבנה פונקציה כמו שדרשו בשאלה (הצבתי y=5-x ככה שf היא פונקציה של המשתנה איקס בלבד):

f(x)=x^3*(5-x)^2=x^3*y^2

נמצא לגברת מקסימום כדרוש:

f'(x)=3x^2*(5-x)^2-2(5-x)*x^3

f'(x)= x^2(5-x)*(3(5-x)-2x)

f'(x)=x^2(5-x)(15-5x)

נשווה ל0 ונקבל:

f'(x)=0 -> x=0 or x=5 or x=3

איקס הוא חיובי, לכן נפסול את x=0.

כעת נמצא את וואי:

x=5 -> y=5-5=0 לא טוב, וואי חיובית בהכרח.

x=3 -> y=5-3=2 מעולה, שניהם חיוביים.

נוודא שזה המקסימום ע"י השוואה מול x=4 וגם x=2:

f(3)=108, f(2)=72, f(4)=64

לכן x=3 בהחלט מהווה מקסימום מקומי, והפתרון שלנו הוא x=3, y=2.