איך לשרטט גרף פונקציה לפי נקודות מקסימום מינימום ונקודות חיתוך?

תצירי קודם כול את החיתוך עם הצירים ואחרי זה את המינימום ומקסימום, במקום של המינימום תצירי חיוך קטן ובמקום של המקסימום פה עצוב קטן ואז תעקבי אחרי הקווים

כדי לצייר גרף יש צורך בידיעה של הדברים הבאים:

1. מה ערך הa (מקדם האיקס בריבוע).
הוא יאמר אם הפרבולה מחייכת (כש a גדול מ0) או בוכה (כש a קטן מ 0)..
בנוסף, המקדם יאמר אם הפרבולה צרה יחסית (ככל שהמקדם גדול מ1 כשהיא מחייכת, או קטן מ1 כשהיא בוכה)...
או רחבה יחסית (ככל שהמקדם בין 0 ל1 וקרוב ל0 הפרבולה רחבה, או בין 0 למינוס 1 כשהיא בוכה)

2. ידיעת ערך המקדם c יאמר לנו היכן עוברת הפרבולה דרך ציר y (נובע מאיפוס של הx, כיוון שציר הy הוא קו ישר המתואר על ידי "x=0")

3. כפל מקוצר/טרינום/נוסחת שורשים. על מנת לדעת את נקודות החיתוך עם ציר x (דבר הנובע מאיפוס של y, כלומר הפונקציה, מאחר שציר x הוא קו המתואר על ידי "y=0").

4. למקרה שרוצים רק לדעת כמה פעמים חותכת הפרבולה את ציר הx צריך לדעת האם הדיסקרימיננטה גדולה שווה או קטנה מ0. דיסקרימיננטה היא כמובן הביטוי בתוך השורש שבנוסחת השורשים: b בריבוע מינוס 4ac.

אם הדיסקרימיננטה גדולה מאפס -

זה אומר שאפשר להוציא שורש לביטוי, והשורש יקבל את הפלוס והמינוס שבנוסחת השורשים, ולכן יש בוודאות שתי נקודות חיתוך עם ציר x.
אפשר גם להגיש שכשa וc בסימנים מנוגדים, תמיד יהיו 2 נקודות חיתוך עם ציר x. נובע מהיות הדיסקרימיננטה חיובית בוודאות.



אם הדיסקרימיננטה שווה ל0 -

הביטוי בתוך השורש הוא 0 ולכן השורש שלו הוא 0. לכן הפלוס והמינוס שבנוסחת השורשים כבר אינם רלוונטיים, ותיפלט תשובה אחת שהיא נקודת חיתוך בודדת (משיקה) עם ציר x.
אפשר גם להגיד שכל מצב של חיתוך יחיד (משיק) של הפרבולה עם ציר x מקורו בשתי נוסחאות הכפל המקוצר הראשונות.



אם הדיסקרימיננטה קטנה מ0 -

זה אומר שאין אפשרות למצוא שורש ממשי כי הביטוי בתוך השורש שלילי. לכן אין נקודות חיתוך כלל עם ציר x והפרבולה מרחפת מעל ציר x וחיובית לכל תחומי הx בהנחה שa גדול מ0, או נרחפת מתחת לציר x ושלילית לכל תחומי הx בהנחה שהa קטן מ0.
דבר זה יכול לקרות רק במצבים בהם a וc בסימנים שווים.
למעשה, כשa וc בסימנים שווים אפשר לקבל את כל האפשרויות. בשונה ממצב בו הם בסימנים כמו שנאמר מעל, ששם תמיד יש שני פתרונות.


5. הצבה בנוסחת ה"קודקוד x" שהיא
מינוס b חלקי 2a. במצב כזה מקבלים את ערך הx של קודקוד הפרבולה (שנדע אם הוא מינימום או מקסימום לפי הa) ולאחר מכן נציב אותו בפונקצינ עצמה לגילוי ערך הy, וכך נקבל את שיעור הקודקוד של הפרבולה במלואו.


טיפים נוספים:

כל פרבולה שb=0 וa וc בסימנים מנוגדים... זו פרבולה עם שני חיתוכים בציר x. תעבירו אגפים ותבינו מדוע.

כל פרבולה עם c=0 יש לה נקודת חיתוך עם ציר x ב x=0 (נובע מהוצאת גורם משותף x) ונקודה שנייה כשx שווה ל b- חלקי a.

תחומי חיובית ושליליות של הפונקציה נמדדים על ידי מציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x.
כל תחום שמעל ציר x הוא חיובי.
כל תחום שמתחת ציר x הוא שלילי.


תחומי עליה וירידה של הפונקציה נמדדים על ידי מציאת נקודות המקסימום, המינימום או הפיתול של פונקציה...
כל תחומי העליה והירידה הם משני הצדדים לערכים אלו, או מצד אחד. דבר זה נכון לכל פונקציה בעולם שהיא מx בריבוע ומעלה.
אפשר לבדוק זאת גם בפונקציות ממעלות גדולות מאד.