אפשר עזרה בבעיית קיצון?

א.
נסמן:
אורך ניצב 1 - a=x
אורך ניצב 2 - b=20-x
(כך שסכומם הוא 20 -
a+b=20
x+b=20
b=20-x).

נבטא את היתר c באמצעות x בעזרת משפט פיתגורס:
c^2=a^2+b^2
c^2=x^2+(20-x)^2
c^2=x^2+400-40x+x^2
c^2=2x^2-40x+400
נוציא שורש משני האגפים:
c=sqrt(2x^2-40x+400)
[האפשרות השלילית נפסלת, כמובן, מאחר ש- c מייצג אורך של צלע, לכן חייב להיות חיובי].

התיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר ולכן אורך התיכון הוא:

y=c/2=sqrt(2x^2-40x+400)/2
וזו למעשה פונקציית המטרה שלנו
(הפונקציה שמייצגת את אורך התיכון ליתר).

נגזור לפי נגזרת שורש:

4x-40
---------------------------------
2sqrt(2x^2-40x+400)
------------------------------------------- = 'y
2
-------
1



נסדר לפי כלל האוזן:


4x-40
---------------------------------- = 'y
4sqrt(2x^2-40x+400)




i 4(x-10)
------------------------------------ = 'y
4sqrt(2x^2-40x+400)





x-10
-------------------------------- = 'y
sqrt(2x^2-40x+400)


נשווה את הנגזרת ל- 0 -
מספיק להשוות את המונה ל- 0 מאחר שרק הוא יכול לאפס את כל הביטוי (כשהוא מתאפס, כל הביטוי מתאפס):

x-10=0
x=10

נוודא באמצעות נגזרת שנייה שעבור ערך x זה אורך התיכון ליתר הוא אכן מינימלי -
מספיק לגזור לשם כך רק את המונה, שכן המכנה הוא ביטוי חיובי לכל x בתחום ההגדרה (שורש מניב תוצאות חיוביות או 0 בלבד) ולכן לא ישפיע על סימן הנגזרת השנייה, רק המונה ישפיע:
y'=x-10 מונה
y"=1>0 מונה
min.



אורכי הניצבים שעבורם אורך התיכון ליתר מינימלי:
a=x=10
ס"מ

b=20-x=20-10=10
ס"מ



ב. נציב x=10 בפונקציה שמייצגת את אורך התיכון ליתר, כדי למצוא את אורכו:

sqrt(2x^2-40x+400)
=---------------------------------
2




sqrt(2*10^2-40*10+400)
=---------------------------------------
2




sqrt(200-400+400)
=-----------------------------
2



sqrt(200)
=----------------
2



sqrt(100)sqrt(2)
=-------------------------
2




10sqrt(2)
=---------------
2




=5sqrt(2)


7.071
ס"מ


אורך התיכון ליתר עבור x=10 הוא
5sqrt(2)=7.071
ס"מ

שואל השאלה:
תודה רבה רבה! 3>