בנוסחה לחישוב קוסינוס זווית שבין שני וקטורים מציבים במכנה את מכפלת אורכיהם. (המשך בפירוט)

זה לא משפיע, אבל אם משנים את האורכים של הווקטורים אז יש להתחשב בכך גם במכפלה הסקלרית שלהם(כלומר לשנות את הווקטורים לווקטורים החדשים בהתאם) כדי שתצא אותה תוצאה.

אתן דוגמה:
נניח שברצוננו לחשב את הזווית בין הווקטורים
(u=(1;1;1 ו- (v=(2;3;4

אז כדי לעשות זאת נציב בנוסחה לחישוב זווית בין שני ווקטורים:

u#v
--------- = (cos(a
|u|*|v|

(הסימן # מתאר סימן של מכפלה סקלרית)


(i (1;1;1)#(2;3;4
--------------------------------------- = (cos(a
(sqrt(1+1+1)sqrt(4+9+16


2+3+4
-------------------------- = (cos(a
(sqrt(3)sqrt(29


9
-------------- = (cos(a
(sqrt(87

הצבה במחשבון:
a=15.225


כעת משנים את אורכי הווקטורים.
נניח שמכפילים את אורכו של u פי 3 ואת אורכו של וקטור v מכפילים פי 2,
ואז מקבלים:
(u=3(1;1;1)=(3;3;3
(v=2(2;3;4)=(4;6;8

כעת נחשב את הזווית שבין שני הוקטורים עם האורכים החדשים:

(i (3;3;3)#(4;6;8
-------------------------------------------- = (cos(a
(sqrt(9+9+9)sqrt(16+36+64

(שים לב ששיניתי את המונה למכפלה הסקלרית של הוקטורים עם האורכים החדשים).

i 12+18+24
---------------------------- = (cos(a
(sqrt(27)sqrt(116


54
------------------ = (cos(a
(sqrt(3,132

a=15.225
וקיבלנו את אותה הזווית בדיוק.

מסקנה: אורכי הווקטורים אינם משפיעים על גודל הזווית ביניהם, רק כיווניהם משפיעים.

שואל השאלה:
לא הבנתי, אם האורך של הווקטורים לא משפיע על הזווית אז למה בכלל בנוסחה מופיע מכפלת האורכים של הווקטורים?

כי בעצם מחלצים את קוסינוס הזווית מהמכפלה הסקלרית:
(u#v=|u|*|v|*cos(a

u#v
--------- = (cos(a
|u|*|v|

ומקבלים שקוסינוס הזווית הוא בעצם היחס בין המכפלה הסקלרית למכפלה באורכים.

כשמשנים את אורכי הווקטורים, זה בא לידי ביטוי גם במכפלה הסקלרית: המכפלה הסקלרית שלהם גם משתנה.

אבל קוסינוס הזווית זו מנה בין המכפלה הסקלרית למכפלה באורכים, אז אומנם אורכי הווקטורים משתנים אך גם המכפלה הסקלרית שלהם משתנה בהתאם, ובמנה הזאת שינוי זה "מצטמצם", ואז מקבלים את אותה הזווית.

נניח:
הזווית בין הווקטורים (v=(1;1;1
ו- (u=(1;2;3:

(i (1;1;1)#(1;2;3
-------------------------------------- = (cos(a
(sqrt(1+1+1)sqrt(1+4+9

1+2+3
------------------------- = (cos(a
(sqrt(3)sqrt(14

6
-------------- = (cos(a
(sqrt(42

נניח שמשנים את אורכי הווקטורים:
(u=2(1;2;3)=(2;4;6
(v=3(1;1;1)=(3;3;3

כעת נחשב את הזווית ביניהם:
(i (2;4;6)#(3;3;3
------------------------------------------ = (cos(a
(sqrt(4+16+36)sqrt(9+9+9

6+12+18
--------------------------- = (cos(a
(sqrt(56)sqrt(27

36
------------------- = (cos(a
(sqrt(1,512


6*6
---------------------------- = (cos(a
(sqrt(42)*sqrt(36


6*6
------------------ = (cos(a
sqrt(42)*6


ה- 6 מצטמצם וקיבלנו עבור קוסינוס את הזווית את אותו המספר בדיוק:

6
-------------- = (cos(a
(sqrt(42

זה באמת לא משפיע