3 תשובות
קשה ממש להסביר, הינה סרטון שכנראה יעזור לך:
(אגב אם את צריכה עזרה בשיעורי בית בפונקציות את מוזמנת לפנות אליי ואנסה לעזור, זה באמת מאד פשוט)
(אגב אם את צריכה עזרה בשיעורי בית בפונקציות את מוזמנת לפנות אליי ואנסה לעזור, זה באמת מאד פשוט)
קישורים מצורפים:
משוואת הישר היא מהצורה
y=mx+b
כאשר x הוא המשתנה הבלתי-תלוי,
ו- y הוא המשתנה התלוי, אשר תלוי ב- x.
(m ו- b מייצגים ערכים מספריים קבועים, אדבר עליהם בהמשך)
כלומר, עבור כל ערך של x שנבחר להציב, ה- y יהיה מושפע מכך, ועבור כל ערך שונה של x שנציב נקבל ערכי y שונים.
כך שאם לדוגמה משוואת הישר היא
y=2x+1
אם נבחר להציב x=1, נקבל
y=2*1+1=2+1=3
אם נבחר להציב x=2, נקבל
y=2*2+1=4+1=5
אם נבחר להציב x=3, נקבל
y=2*3+1=6+1=7
וכן הלאה....
כפי שניתן לראות ערכי ה- y מושפעים מערכי ה- x, ועבור ערכים שונים של x מקבלים ערכי y שונים, מכאן ניתן להסיק ש- x הוא משתנה הבלתי-תלוי (אינו תלוי בכלום, נוכל לבחור להציב כל ערך של x שנרצה ללא קשר לכלום), ו- y הוא המשתנה התלוי, אשר תלוי בערך של x ומושפע ממנו.
ערכי ה- x,y בכל פעם מייצגים נקודות שנמצאות על הישר במערכת צירים.
כך שאם לדוגמה מצאנו שעבור
x=1 מתקבל y=3, אז הנקודה (3;1) נמצאת על הישר,
אם עבור x=2 מתקבל y=5, אז הנקודה (5;2) נמצאת על הישר,
אם עבור x=3 מתקבל y=7, אז הנקודה (7;3) נמצאת על הישר, וכן הלאה...
(תזכורת: שיעורי נקודה במערכת צירים נכתבים כך - (x;y)).
את הנקודות ניתן לסמן במערכת צירים, ואז לראות בערך כיצד הישר אמור להיראות, על סמך הנקודות שהוא עובר דרכן.. ניתן למתוח קו בין הנקודות ולקבל את הגרף של משוואת הישר.
כמו שציינתי קודם משוואת הישר היא מהצורה
y=mx+b
כאשר x ו- y הם משתנים,
אך m ו- b מייצגים ערכים מספריים, אך לכל אחד מהם יש תפקיד שונה:
m מייצג את שיפוע הגרף, כלומר כמה הגרף משופע, ביחס לציר x ולציר y. במילים אחרות, שיפוע הגרף מייצג את השינוי של ערכי ה- y במשוואת הישר ביחס לשינוי בערכי ה- x, כלומר בכמה ערך ה- y עולה עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x.
לדוגמה אם הישר עובר בנקודות
(3;1)
(5;2)
(7;3)
ניתן לראות שכל פעם שמוסיפים 1 לערך ה- x, מתוסף 2 לערך ה- y (עבור קפיצה של 1 בין x=1 ו- x=2, מתרחשת קפיצה של 2 בין y=3 ו- y=5, וככה זה עם שאר הנקודות שנמצאות על גרף הפונקציה *במקרה הזה!!* כמובן של מקרה לגופו ובכל פעם קורה משהו אחר, אני נתתי דוגמה למקרה פרטי שמתרחש רק בגרף של ישר מסוים, כמובן שבכל פעם זה יהיה שונה... צריך פשוט לשים לב לשיעורי הנקודות שנתונות ולראות בכמה ערך ה- y עולה עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x ולפי זה לראות מה השיפוע).
את השיפוע ניתן גם לחשב על פי שתי נקודות שנתונות על גרף הפונקציה, כך שאם לדוגמה הגרף של משוואת הישר עובר בנקודות
(x1;y1) ו- (x2;y1) (כאשר x=x1 ו- x=x2 אלה כל שיעורי x שנוכל לבחור להציב במשוואת הישר ולקבל y=y1 ו- y=y2 בהתאמה, כמו שמקודם לדוגמה הצבנו במשוואת הישר y=2x+1 את x=1 וקיבלנו y=5) אז ניתן להציב זאת בנוסחה למציאת שיפוע ובכך למצוא את שיפוע הגרף:
y2-y1
----------- = m
x2-x1
*הערה: חשוב להקפיד על הסדר של ערכי ה- x ושל ערכי ה- y, כך שאם החסרנו מ- y2 את y1 אז נחסיר את מ- x2 את x1 ולא הפוך, כלומר הנוסחה לחישוב שיפוע היא
y2-y1
--------- = m
x2-x1
או זאת
y1-y2
---------- = m
x1-x2
ולא זאת
y2-y1
--------- = m
x1-x2
או זאת
y1-y2
---------- = m
x2-x1
במילים אחרות, את הסדר שקובעים, חייבים לשמור! כך שאם נחסר y1 מ- y2, נצטרך לחסר x1 מ- x2, ולהיפך, נקפיד על הסדר של מי נחסר ממי.
דוגמה: נתונות הנקודות (3;1) ו- (5;2) על גרף של פונקציה קווית (משוואת ישר), נרצה לחשב את השיפוע של הישר.
נסמן את שיעורי הנקודה (3;1) כ-
x=x1=1
y=y1=3
ואת שיעורי הנקודה (5;2) כ-
x=x2=2
y=y2=5
(זה לא משנה איך בוחרים לסמן, ניתן לסמן גם הפוך)
וכעת נחשב את השיפוע לפי הנוסחה:
y2-y1
---------- = m
x2-x1
נציב את הערכים שנתונים לנו:
x1=1, y1=3. x2=2, y2=5
5-3
------ = m
2-1
2
--- = m
1
m=2
מכאן ששיפוע הישר הוא 2.
ניתן גם לשנות את הסדר של y1,y2 ו- x1,x2 כל עוד מקפידים שהסדר נשמר אצל שני זוגות הערכים, ולקבל אותה תוצאה:
y1-y2
---------- = m
x1-x2
3-5
------ = m
1-2
2-
---- = m
1-
m=2
דוגמה למה שלא ניתן לעשות:
y2-y1
--------- = m
x1-x2
5-3
------ = m
1-2
2
---- = m
1-
m=-2 --> לא מתקבל אותו שיפוע, לכן המסקנה היא שחייבים להקפיד שהסדר של y1,y2 יהיה אותו הסדר כמו של x1,x2
(מי שראשון ראשון ומי ששני ששני).
מכאן ניתן להסיק שמשוואת הישר שמדובר עליו היא מהצורה
y=2x+b
כאשר m=2, אשר כפי שציינתי קודם מייצג בכמה עולה ערך ה- y של משוואת הישר עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x.
כך שאם השיפוע הוא 2, עבור כל קפיצה של 1 בערכי ה- x, ערכי ה- y יעלו ב- 2
לדוגמה:
אם הנקודה (3;1) נמצאת על הישר, נוסיף 1 לערך ה- x כלומר נציב x=2 במקום x=1 ואז ערך ה- y יעלה ב- 2, והוא יהיה 3+2=5
כך שהנקודה (5;2) גם נמצאת על הישר.
בנוסף על השיפוע:
כאשר m>0, כלומר m (השיפוע) חיובי, הישר עולה, כך שעבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x, שיעורי ה- y *גדלים* כך שלדוגמה אם הישר עובר בנקודות (3;1), (5;2), (7;3), הישר הוא עולה מכיוון שעבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x מתרחשת *עלייה* של ערכי ה- y ב-2, כך שאם ערכי ה- x גדלים כך: 1,2,3...
אז ערכי ה- y גדלים כך: 3,5,7...
ומכאן ניתן להסיק שבמקרה הזה השיפוע של הישר הוא 2 (שזה ערך חיובי, בגלל שהישר *עולה*), משום שעבור כל הוספה של 1 לערכי ה- x, מתוסף 2 לערך ה- y.
כאשר m<0, כלומר שיפוע הישר *שלילי*, אז הגרף של משוואת הישר הוא גרף *יורד*, כלומר עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x, שיעורי ה- y *הולכים וקטנים* כך שאם לדוגמה הישר עובר בנקודות
(3;1), (1;2), (1-;3), (3-;4) אז עבור כל הוספה של 1 לערכי ה- x, ערכי ה- y *קטנים* ב-2.
כך שאם ערכי ה- x גדלים באופן הזה:
1,2,3,4.... אז ערכי ה- y קטנים באופן הזה:
3-,1-,3,1 ומכאן ניתן להסיק ששיפוע הישר הוא *2-* כך שמשוואת הישר היא מהצורה
y=-2x+b והגרף של הישר הוא גרף *יורד*.
במשוואת הישר מהצורה
y=mx+b ה- b הוא קבוע כלשהו, אשר מייצג את כמה יש להגביה או להנמיך את גרף הפונקציה, והוא *אינו* משפיע על שיפוע הגרף. רק המקדם של ה- x, שהוא m, משפיע על שיפוע הגרף.
לדוגמה במשוואת הישר
y=2x+1
ניתן לראות כי השיפוע הוא m=2,
והקבוע המסוים הוא b=1.
הישר הנ"ל מייצג הגבהה ב- 1 של הישר
y=2x, כלומר אם נרצה לקבל את הגרף של הישר y=2x+1, נצטרך להגביה את הגרף של הישר y=2x ב-1, כך שכל שיעורי ה- y יעלו ב- 1.
כך שאם הישר y=2x עובר בנקודות
(0;0), (2;1), (4;2) אז הישר y=2x+1 יעבור בנקודות (1;0), (3;1), (5;2) --- כלומר ששיעורי ה- y של הנקודות יהיו צריכים להיות גדולים יותר ב- 1.
בדרך כלל ה- b מייצג את החיתוך של הישר עם ציר ה- y(אדבר יותר לעומק על חיתוך עם הצירים בהמשך) משום שאם ניקח את הישר y=mx+b ונציב בו x=0 (כדי למצוא חיתוך של גרף עם ציר ה- y מציבים x=0 במשוואת הגרף, מאחר שבנקודה שבה x=0 גרף הפונקציה חותך את ציר ה- y) ומקבלים:
y=m*0+b=b
כך שהישר חותך את ציר ה- y בנקודה
(i (0;b, מכאן ניתן להסיק ש- b מייצג את שיעור ה- y של החיתוך של הישר עם ציר ה- y.
כך שלדוגמה במשוואת הישר y=2x+1, ה- b הוא b=1 ואז על סמך זה ניתן להגיד שהישר חותך את ציר ה- y בנקודה (1;0), מאחר שנוכל להציב x=0 במשוואת הישר ולקבל
y=2*0+1=1.
בנוסף על b:
אם b>0, כלומר b חיובי, אז הישר y=mx+b מייצג *הגבהה* של הישר y=mx ב- b יחידות, כלומר הוא הוא מייצג בכמה יש להעלות את שיעורי ה- y של הנקודות על הישר y=mx, כך שנקבל את הנקודות על הישר y=mx+b, כך שאם לדוגמה הישר y=mx עובר בנקודה
(0;0), אז הישר y=mx+b יעבור בנקודה
i (0;b), אם הישר y=mx עובר בנקודה i (1;m), אז הישר y=mx+b יעבור בנקודה
(i (1;m+b וכן הלאה...
לדוגמה אם הישר y=2x עובר בנקודות
(0;0), (2;1), (4;2) אז הישר y=2x+1 יעבור בנקודות (1;0), (3;1), (5;2) כיוון שהוא מייצג *הגבהה* של הישר y=2x ב- 1, כך שבכל נקודה ונקודה על הישר y=2x מוסיפים 1 לשיעורי ה- y לקבלת הנקודות על הישר y=2x+1.
אם b<0, כלומר b *שלילי*, אז הישר y=mx+b מייצג *הנמכה* של גרף הפונקציה y=mx ב- b יחידות, כך שעל מנת לקבל את גרף הפונקציה y=mx+b, יש להנמיך את גרף הפונקציה y=mx ב- b- יחידות, ואז כל שיעורי ה- y של הנקודות שעל גרף הפונקציה y=mx יקטנו ב- b-.
כך שאם לדוגמה משוואת הישר היא
y=2x-1,
b=-1 לכן ישר זה מייצג *הנמכה* של גרף הפונקציה y=2x ביחידה אחת. גם במקרה הזה ה- b מייצג את שיעור ה- y של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- y:
(i (0;b) -----b=-1-------> (0;-1
כך שאם הישר y=2x עובר בנקודות
(0;0), (2;1), (4;2), אז גרף הפונקציה
y=2x-1 יעבור בנקודות (1-;0), (1;1), (3;2) כיוון שבמקרה הזה על שיעורי ה- y קטנים ב- 1, מאחר שהקבוע, b הוא מספר שלילי והוא b=-1.
חיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר ה- x מתקבל היכן ש- y=0, כך שאם נרצה למצוא את שיעורי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- x עלינו להשוות את משוואת הישר ל- 0:
y=mx+b
חיתוך עם ציר ה- x - נציב y=0/נשווה את משוואת הישר ל- 0:
mx+b=0.
כך שאם לדוגמה משוואת הישר היא y=2x+1, אם נרצה למצוא את החיתוך עם ציר ה- x, נשווה את הפונקציה ל- 0:
2x+1=0
2x=-1
x=-1/2
מכאן שהישר חותך את ציר ה- x בנקודה
(0;1/2-).
חיתוך עם ציר ה- y מתקבל כאשר x=0, לכן על מנת למצוא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה- y, עלינו להציב x=0 במשוואת הישר.
לדוגמה במשוואת הישר y=2x+1, אם נרצה למצוא את החיתוך של הישר עם ציר ה- y, נצטרך להציב x=0:
y=2*0+1=1 ולקבל שהישר חותך את ציר ה- y בנקודה (1;0). כפי שציינתי קודם שיעור ה- y של נקודת החיתוך עם ציר ה- y מייצג את הקבוע, ה- b של משוואת הישר לכן במקרה הזה b=1, והישר y=2x+1 חותך את ציר ה- y בנקודה (1;0)
לזכור!!! חיתוך עם ציר x - מציבים y=0,
חיתוך עם ציר y - מציבים x=0,
לא להתבלבל.
מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות שנתונות:
על מנת לעשות זאת, נחשב קודם כול את השיפוע של הישר על פי שתי הנקודות שנתונות ואז נציב אותו בתור ה- m במשוואת הישר מהצורה y=mx+b.
לאחר מכן, נציב אחת הנקודות (לא משנה איזו) כלומר נציב את ערך ה- x ואת ערך ה- y של הנקודה במשוואת הישר על מנת למצוא את b ואז למצוא את משוואת הישר המלאה.
דוגמה: אם הישר עובר בנקודות (3;1) ו- (5;2), ואנו רוצים למצוא את משוואת הישר, נחשב קודם כול את השיפוע של הישר לפי הנוסחה
y2-y1
---------- = m
x2-x1
(חשוב כמובן לשמור על מי ראשון מי שני) כאשר (x1;y1) ו- (x2;y2) הם שיעורי הנקודות שנתונות על הגרף של הישר.
נוכל לסמן:
x1=1, y1=3
x2=2, y2=5
(שוב, לא משנה כיצד בוחרים לסמן)
וכעת נחשב את השיפוע:
5-3
----- = m
2-1
2
--- = m
1
m=2
קיבלנו שהשיפוע הוא 2, מכאן שמשוואת הישר היא
y=2x+b.
עכשיו על מנת למצוא את משוואת הישר המלאה, עלינו למצוא את b.
נעשה זאת בכך שנציב את אחת מהנקודות
(3;1) או (5;2) (כאשר אין חשיבות איזו נקודה בוחרים להציב, נקבל אותה תוצאה).
מטעמי נוחות, אבחר להציב את הנקודה (3;1) במשוואת הישר ובכך אמצא את b:
y=mx+b
מצאנו כי השיפוע הוא m=2:
y=2x+b
נציב את שיעורי הנקודה: x=1, y=3 ---
i. 3=2*1+b
i. 3=2+b
b=1
מכאן ש- b=1 ואז משוואת הישר המלאה היא
y=2x+1, וכמובן שניתן לשרטט את הישר במערכת צירים על סמך הנקודות שנתונות לנו, בכך שנסמן אותן במערכת צירים ונמתח קו ביניהן.
בהצלחה!
y=mx+b
כאשר x הוא המשתנה הבלתי-תלוי,
ו- y הוא המשתנה התלוי, אשר תלוי ב- x.
(m ו- b מייצגים ערכים מספריים קבועים, אדבר עליהם בהמשך)
כלומר, עבור כל ערך של x שנבחר להציב, ה- y יהיה מושפע מכך, ועבור כל ערך שונה של x שנציב נקבל ערכי y שונים.
כך שאם לדוגמה משוואת הישר היא
y=2x+1
אם נבחר להציב x=1, נקבל
y=2*1+1=2+1=3
אם נבחר להציב x=2, נקבל
y=2*2+1=4+1=5
אם נבחר להציב x=3, נקבל
y=2*3+1=6+1=7
וכן הלאה....
כפי שניתן לראות ערכי ה- y מושפעים מערכי ה- x, ועבור ערכים שונים של x מקבלים ערכי y שונים, מכאן ניתן להסיק ש- x הוא משתנה הבלתי-תלוי (אינו תלוי בכלום, נוכל לבחור להציב כל ערך של x שנרצה ללא קשר לכלום), ו- y הוא המשתנה התלוי, אשר תלוי בערך של x ומושפע ממנו.
ערכי ה- x,y בכל פעם מייצגים נקודות שנמצאות על הישר במערכת צירים.
כך שאם לדוגמה מצאנו שעבור
x=1 מתקבל y=3, אז הנקודה (3;1) נמצאת על הישר,
אם עבור x=2 מתקבל y=5, אז הנקודה (5;2) נמצאת על הישר,
אם עבור x=3 מתקבל y=7, אז הנקודה (7;3) נמצאת על הישר, וכן הלאה...
(תזכורת: שיעורי נקודה במערכת צירים נכתבים כך - (x;y)).
את הנקודות ניתן לסמן במערכת צירים, ואז לראות בערך כיצד הישר אמור להיראות, על סמך הנקודות שהוא עובר דרכן.. ניתן למתוח קו בין הנקודות ולקבל את הגרף של משוואת הישר.
כמו שציינתי קודם משוואת הישר היא מהצורה
y=mx+b
כאשר x ו- y הם משתנים,
אך m ו- b מייצגים ערכים מספריים, אך לכל אחד מהם יש תפקיד שונה:
m מייצג את שיפוע הגרף, כלומר כמה הגרף משופע, ביחס לציר x ולציר y. במילים אחרות, שיפוע הגרף מייצג את השינוי של ערכי ה- y במשוואת הישר ביחס לשינוי בערכי ה- x, כלומר בכמה ערך ה- y עולה עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x.
לדוגמה אם הישר עובר בנקודות
(3;1)
(5;2)
(7;3)
ניתן לראות שכל פעם שמוסיפים 1 לערך ה- x, מתוסף 2 לערך ה- y (עבור קפיצה של 1 בין x=1 ו- x=2, מתרחשת קפיצה של 2 בין y=3 ו- y=5, וככה זה עם שאר הנקודות שנמצאות על גרף הפונקציה *במקרה הזה!!* כמובן של מקרה לגופו ובכל פעם קורה משהו אחר, אני נתתי דוגמה למקרה פרטי שמתרחש רק בגרף של ישר מסוים, כמובן שבכל פעם זה יהיה שונה... צריך פשוט לשים לב לשיעורי הנקודות שנתונות ולראות בכמה ערך ה- y עולה עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x ולפי זה לראות מה השיפוע).
את השיפוע ניתן גם לחשב על פי שתי נקודות שנתונות על גרף הפונקציה, כך שאם לדוגמה הגרף של משוואת הישר עובר בנקודות
(x1;y1) ו- (x2;y1) (כאשר x=x1 ו- x=x2 אלה כל שיעורי x שנוכל לבחור להציב במשוואת הישר ולקבל y=y1 ו- y=y2 בהתאמה, כמו שמקודם לדוגמה הצבנו במשוואת הישר y=2x+1 את x=1 וקיבלנו y=5) אז ניתן להציב זאת בנוסחה למציאת שיפוע ובכך למצוא את שיפוע הגרף:
y2-y1
----------- = m
x2-x1
*הערה: חשוב להקפיד על הסדר של ערכי ה- x ושל ערכי ה- y, כך שאם החסרנו מ- y2 את y1 אז נחסיר את מ- x2 את x1 ולא הפוך, כלומר הנוסחה לחישוב שיפוע היא
y2-y1
--------- = m
x2-x1
או זאת
y1-y2
---------- = m
x1-x2
ולא זאת
y2-y1
--------- = m
x1-x2
או זאת
y1-y2
---------- = m
x2-x1
במילים אחרות, את הסדר שקובעים, חייבים לשמור! כך שאם נחסר y1 מ- y2, נצטרך לחסר x1 מ- x2, ולהיפך, נקפיד על הסדר של מי נחסר ממי.
דוגמה: נתונות הנקודות (3;1) ו- (5;2) על גרף של פונקציה קווית (משוואת ישר), נרצה לחשב את השיפוע של הישר.
נסמן את שיעורי הנקודה (3;1) כ-
x=x1=1
y=y1=3
ואת שיעורי הנקודה (5;2) כ-
x=x2=2
y=y2=5
(זה לא משנה איך בוחרים לסמן, ניתן לסמן גם הפוך)
וכעת נחשב את השיפוע לפי הנוסחה:
y2-y1
---------- = m
x2-x1
נציב את הערכים שנתונים לנו:
x1=1, y1=3. x2=2, y2=5
5-3
------ = m
2-1
2
--- = m
1
m=2
מכאן ששיפוע הישר הוא 2.
ניתן גם לשנות את הסדר של y1,y2 ו- x1,x2 כל עוד מקפידים שהסדר נשמר אצל שני זוגות הערכים, ולקבל אותה תוצאה:
y1-y2
---------- = m
x1-x2
3-5
------ = m
1-2
2-
---- = m
1-
m=2
דוגמה למה שלא ניתן לעשות:
y2-y1
--------- = m
x1-x2
5-3
------ = m
1-2
2
---- = m
1-
m=-2 --> לא מתקבל אותו שיפוע, לכן המסקנה היא שחייבים להקפיד שהסדר של y1,y2 יהיה אותו הסדר כמו של x1,x2
(מי שראשון ראשון ומי ששני ששני).
מכאן ניתן להסיק שמשוואת הישר שמדובר עליו היא מהצורה
y=2x+b
כאשר m=2, אשר כפי שציינתי קודם מייצג בכמה עולה ערך ה- y של משוואת הישר עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x.
כך שאם השיפוע הוא 2, עבור כל קפיצה של 1 בערכי ה- x, ערכי ה- y יעלו ב- 2
לדוגמה:
אם הנקודה (3;1) נמצאת על הישר, נוסיף 1 לערך ה- x כלומר נציב x=2 במקום x=1 ואז ערך ה- y יעלה ב- 2, והוא יהיה 3+2=5
כך שהנקודה (5;2) גם נמצאת על הישר.
בנוסף על השיפוע:
כאשר m>0, כלומר m (השיפוע) חיובי, הישר עולה, כך שעבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x, שיעורי ה- y *גדלים* כך שלדוגמה אם הישר עובר בנקודות (3;1), (5;2), (7;3), הישר הוא עולה מכיוון שעבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x מתרחשת *עלייה* של ערכי ה- y ב-2, כך שאם ערכי ה- x גדלים כך: 1,2,3...
אז ערכי ה- y גדלים כך: 3,5,7...
ומכאן ניתן להסיק שבמקרה הזה השיפוע של הישר הוא 2 (שזה ערך חיובי, בגלל שהישר *עולה*), משום שעבור כל הוספה של 1 לערכי ה- x, מתוסף 2 לערך ה- y.
כאשר m<0, כלומר שיפוע הישר *שלילי*, אז הגרף של משוואת הישר הוא גרף *יורד*, כלומר עבור כל קפיצה של 1 בין ערכי ה- x, שיעורי ה- y *הולכים וקטנים* כך שאם לדוגמה הישר עובר בנקודות
(3;1), (1;2), (1-;3), (3-;4) אז עבור כל הוספה של 1 לערכי ה- x, ערכי ה- y *קטנים* ב-2.
כך שאם ערכי ה- x גדלים באופן הזה:
1,2,3,4.... אז ערכי ה- y קטנים באופן הזה:
3-,1-,3,1 ומכאן ניתן להסיק ששיפוע הישר הוא *2-* כך שמשוואת הישר היא מהצורה
y=-2x+b והגרף של הישר הוא גרף *יורד*.
במשוואת הישר מהצורה
y=mx+b ה- b הוא קבוע כלשהו, אשר מייצג את כמה יש להגביה או להנמיך את גרף הפונקציה, והוא *אינו* משפיע על שיפוע הגרף. רק המקדם של ה- x, שהוא m, משפיע על שיפוע הגרף.
לדוגמה במשוואת הישר
y=2x+1
ניתן לראות כי השיפוע הוא m=2,
והקבוע המסוים הוא b=1.
הישר הנ"ל מייצג הגבהה ב- 1 של הישר
y=2x, כלומר אם נרצה לקבל את הגרף של הישר y=2x+1, נצטרך להגביה את הגרף של הישר y=2x ב-1, כך שכל שיעורי ה- y יעלו ב- 1.
כך שאם הישר y=2x עובר בנקודות
(0;0), (2;1), (4;2) אז הישר y=2x+1 יעבור בנקודות (1;0), (3;1), (5;2) --- כלומר ששיעורי ה- y של הנקודות יהיו צריכים להיות גדולים יותר ב- 1.
בדרך כלל ה- b מייצג את החיתוך של הישר עם ציר ה- y(אדבר יותר לעומק על חיתוך עם הצירים בהמשך) משום שאם ניקח את הישר y=mx+b ונציב בו x=0 (כדי למצוא חיתוך של גרף עם ציר ה- y מציבים x=0 במשוואת הגרף, מאחר שבנקודה שבה x=0 גרף הפונקציה חותך את ציר ה- y) ומקבלים:
y=m*0+b=b
כך שהישר חותך את ציר ה- y בנקודה
(i (0;b, מכאן ניתן להסיק ש- b מייצג את שיעור ה- y של החיתוך של הישר עם ציר ה- y.
כך שלדוגמה במשוואת הישר y=2x+1, ה- b הוא b=1 ואז על סמך זה ניתן להגיד שהישר חותך את ציר ה- y בנקודה (1;0), מאחר שנוכל להציב x=0 במשוואת הישר ולקבל
y=2*0+1=1.
בנוסף על b:
אם b>0, כלומר b חיובי, אז הישר y=mx+b מייצג *הגבהה* של הישר y=mx ב- b יחידות, כלומר הוא הוא מייצג בכמה יש להעלות את שיעורי ה- y של הנקודות על הישר y=mx, כך שנקבל את הנקודות על הישר y=mx+b, כך שאם לדוגמה הישר y=mx עובר בנקודה
(0;0), אז הישר y=mx+b יעבור בנקודה
i (0;b), אם הישר y=mx עובר בנקודה i (1;m), אז הישר y=mx+b יעבור בנקודה
(i (1;m+b וכן הלאה...
לדוגמה אם הישר y=2x עובר בנקודות
(0;0), (2;1), (4;2) אז הישר y=2x+1 יעבור בנקודות (1;0), (3;1), (5;2) כיוון שהוא מייצג *הגבהה* של הישר y=2x ב- 1, כך שבכל נקודה ונקודה על הישר y=2x מוסיפים 1 לשיעורי ה- y לקבלת הנקודות על הישר y=2x+1.
אם b<0, כלומר b *שלילי*, אז הישר y=mx+b מייצג *הנמכה* של גרף הפונקציה y=mx ב- b יחידות, כך שעל מנת לקבל את גרף הפונקציה y=mx+b, יש להנמיך את גרף הפונקציה y=mx ב- b- יחידות, ואז כל שיעורי ה- y של הנקודות שעל גרף הפונקציה y=mx יקטנו ב- b-.
כך שאם לדוגמה משוואת הישר היא
y=2x-1,
b=-1 לכן ישר זה מייצג *הנמכה* של גרף הפונקציה y=2x ביחידה אחת. גם במקרה הזה ה- b מייצג את שיעור ה- y של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- y:
(i (0;b) -----b=-1-------> (0;-1
כך שאם הישר y=2x עובר בנקודות
(0;0), (2;1), (4;2), אז גרף הפונקציה
y=2x-1 יעבור בנקודות (1-;0), (1;1), (3;2) כיוון שבמקרה הזה על שיעורי ה- y קטנים ב- 1, מאחר שהקבוע, b הוא מספר שלילי והוא b=-1.
חיתוך עם הצירים:
חיתוך עם ציר ה- x מתקבל היכן ש- y=0, כך שאם נרצה למצוא את שיעורי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- x עלינו להשוות את משוואת הישר ל- 0:
y=mx+b
חיתוך עם ציר ה- x - נציב y=0/נשווה את משוואת הישר ל- 0:
mx+b=0.
כך שאם לדוגמה משוואת הישר היא y=2x+1, אם נרצה למצוא את החיתוך עם ציר ה- x, נשווה את הפונקציה ל- 0:
2x+1=0
2x=-1
x=-1/2
מכאן שהישר חותך את ציר ה- x בנקודה
(0;1/2-).
חיתוך עם ציר ה- y מתקבל כאשר x=0, לכן על מנת למצוא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה- y, עלינו להציב x=0 במשוואת הישר.
לדוגמה במשוואת הישר y=2x+1, אם נרצה למצוא את החיתוך של הישר עם ציר ה- y, נצטרך להציב x=0:
y=2*0+1=1 ולקבל שהישר חותך את ציר ה- y בנקודה (1;0). כפי שציינתי קודם שיעור ה- y של נקודת החיתוך עם ציר ה- y מייצג את הקבוע, ה- b של משוואת הישר לכן במקרה הזה b=1, והישר y=2x+1 חותך את ציר ה- y בנקודה (1;0)
לזכור!!! חיתוך עם ציר x - מציבים y=0,
חיתוך עם ציר y - מציבים x=0,
לא להתבלבל.
מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות שנתונות:
על מנת לעשות זאת, נחשב קודם כול את השיפוע של הישר על פי שתי הנקודות שנתונות ואז נציב אותו בתור ה- m במשוואת הישר מהצורה y=mx+b.
לאחר מכן, נציב אחת הנקודות (לא משנה איזו) כלומר נציב את ערך ה- x ואת ערך ה- y של הנקודה במשוואת הישר על מנת למצוא את b ואז למצוא את משוואת הישר המלאה.
דוגמה: אם הישר עובר בנקודות (3;1) ו- (5;2), ואנו רוצים למצוא את משוואת הישר, נחשב קודם כול את השיפוע של הישר לפי הנוסחה
y2-y1
---------- = m
x2-x1
(חשוב כמובן לשמור על מי ראשון מי שני) כאשר (x1;y1) ו- (x2;y2) הם שיעורי הנקודות שנתונות על הגרף של הישר.
נוכל לסמן:
x1=1, y1=3
x2=2, y2=5
(שוב, לא משנה כיצד בוחרים לסמן)
וכעת נחשב את השיפוע:
5-3
----- = m
2-1
2
--- = m
1
m=2
קיבלנו שהשיפוע הוא 2, מכאן שמשוואת הישר היא
y=2x+b.
עכשיו על מנת למצוא את משוואת הישר המלאה, עלינו למצוא את b.
נעשה זאת בכך שנציב את אחת מהנקודות
(3;1) או (5;2) (כאשר אין חשיבות איזו נקודה בוחרים להציב, נקבל אותה תוצאה).
מטעמי נוחות, אבחר להציב את הנקודה (3;1) במשוואת הישר ובכך אמצא את b:
y=mx+b
מצאנו כי השיפוע הוא m=2:
y=2x+b
נציב את שיעורי הנקודה: x=1, y=3 ---
i. 3=2*1+b
i. 3=2+b
b=1
מכאן ש- b=1 ואז משוואת הישר המלאה היא
y=2x+1, וכמובן שניתן לשרטט את הישר במערכת צירים על סמך הנקודות שנתונות לנו, בכך שנסמן אותן במערכת צירים ונמתח קו ביניהן.
בהצלחה!
אוי הייתי עוזרת לך אבל אני לא יודעת להסביר רק להראות
באותו הנושא: