4 תשובות
לרוב הוא לא.
יש תיכון שהוא האחד שחוצה את הצלעות.
יש תיכון שהוא האחד שחוצה את הצלעות.
שואל השאלה:
בטרפז?
בטרפז?
גם בטרפז גובה לא חוצה את הצלעות.
תכונות המשותפות לכל המשולשים: זוויות וצלעות עריכה
סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.
זוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה
מול הזווית הגדולה במשולש, מונחת הצלע הגדולה במשולש ולהיפך
סכום שתי צלעות במשולש גדול מצלע שלישית.
הפוך: הפרש אורכי שתי צלעות במשולש קטן מאורך הצלע השלישית.
במשולש (שאינו שווה צלעות), אם צלע גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הגדולה, גדולה יותר מהזווית שמול הצלע הקטנה
תיכון במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח (לא לציטוט בבגרות)
[[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק אותה ביחס של a:b מחלק גם את המשולש לשני משולשים שהיחס בין שטחם הוא a:b/]] (לא לציטוט בבגרות)
[[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטחים שווים הוא תיכון במשולש/]] (לא לציטוט בבגרות)
[[/אם במשולש תיכון עובר דרך מקביל המקביל לצלע אותה חוצה התיכון, אז התיכון בהכרח חוצה גם את המקביל לצלע/]](לא לציטוט בבגרות)
חוצה זווית (פנימית או חיצונית) במשולש, מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית
הפוך:אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.
משולשים שווי שוקיים עריכה
אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
הפוך: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
הפוך: אם מרחקי גבהי הבסיס שווים מהשוקיים, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.
אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולש שווה צלעות עריכה
הגדרה: משולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש צלעותיו שוות באורכן ולכן כל הזוויות שוות ל-60 מעלות.
משולש ששתיים מזוויותיו שוות 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
משולש ששתיים מצלעותיו שוות וזווית אחת שלו שווה 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים ולכן כל חוקיו של משולש שווה שוקיים חלים גם על משולש שווה צלעות, כאשר כל אחת מצלעות המשולש יכולה לשמש כבסיס.
אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
הפוך: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
הפוך: אם מרחקי גבהי הבסיס שווים מהשוקיים, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.
אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולש ישר זווית עריכה
הגדרה: משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל90 מעלות. הצלע מול הזווית בעלת 90 מעלות (הזווית הישרה) נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.
היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין הניצב השני הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "טנגנס הזווית".
היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "סינוס הזווית".
היחס בין הניצב הצמוד לזווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "קוסינוס הזווית".
במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר. משולש זה ניקרא גם משולש זהב
אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול הניצב שווה 30 מעלות.
במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית. והצלע אותה הוא חוצה היא היתר.
הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)
משפטי חפיפה עריכה
שים לב: משפטי החפיפה נובעים כולם מחוק דמיון משולשים.
הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.
אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
[[/אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים/]]. (משפט חפיפה צ.צ.ז)
אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.צ.צ)
במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות
במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות
צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צמב"ח)
זוויות מתאימות במשולשים חופפים
דמיון משולשים (וחוקים הנובעים ממנו) עריכה
כדי להוכיח דמיון משולשים די להוכיח כי:
שתי זוויות שוות בהתאמה - אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
יש יחס שווה בין שלושת הצלעות במשולש אחד לשלושת הצלעות במשולש שני.
[[/קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות בשני המשולשים והזווית בין הצלעות האלה שווה בשני המשולשים/]].
[[/אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים/]].
דמיון בין שני משולשים מכנה יחס פרופורציוני לצלעות ולזוויות:
גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון שבין הצלעות המתאימות.
[[/הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי/]] (מכאן המשפט : במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר.)
הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.
קטע אמצעים במשולש עריכה
הגדרה: קטע אמצעים במשולש הוא קטע העובר בין אמצעי שתי צלעות במשולש כאשר:
קטע אמצעים במשולש חוצה את שתי הצלעות שהוא חותך.
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה אינו חותך.
קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה אינו חותך.
הוכחה:
קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים עפ"י הגדרתו.
אם קטע במשולש חוצה צלע אחת ומקביל לצלע אחרת, הוא קטע אמצעים.
קטע המקביל לאחת הצלעות במשולש ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.
קטע אמצעים במשולש.
אם נעביר קטע אמצעים במשולש, כל קטע שנעביר מהקדקוד של שתי הצלעות הנחצות לצלע השלישית יצור שני משולשים שחלקי קטע האמצעים במשולש הגדול יהוו קטע אמצעים בהם.
קטע אמצעי במשולש:
ישר המקביל לצלע של משולש וחוצה צלע אחרת, בהכרח עובר גם דרך אמצע הצלע השלישית, כלומר, הוא קטע אמצעים.
קטע אמצעים המחבר את השוקיים - חוצה את הגובה לבסיס .
קטע אמצעים במשולש עובר בהכרח דרך אמצע כל קטע המחבר בין הקדקוד שמחבר את הצלעות שהוא חוצה לבין הצלע לה הוא מקביל, וחותך את שטח המשולש למשולש קטן וטרפז ביחס 1:3.
[[/קטע אמצעים במשולש מחלק אותו למשולש ולטרפז כך ששטח הטרפז גדול פי 3 משטח המשולש שנוצר/]] (לא לציטוט בבגרות)
סכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.
זוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה
מול הזווית הגדולה במשולש, מונחת הצלע הגדולה במשולש ולהיפך
סכום שתי צלעות במשולש גדול מצלע שלישית.
הפוך: הפרש אורכי שתי צלעות במשולש קטן מאורך הצלע השלישית.
במשולש (שאינו שווה צלעות), אם צלע גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הגדולה, גדולה יותר מהזווית שמול הצלע הקטנה
תיכון במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח (לא לציטוט בבגרות)
[[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק אותה ביחס של a:b מחלק גם את המשולש לשני משולשים שהיחס בין שטחם הוא a:b/]] (לא לציטוט בבגרות)
[[/קטע במשולש היורד מקודקוד אל הצלע שמולו ומחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטחים שווים הוא תיכון במשולש/]] (לא לציטוט בבגרות)
[[/אם במשולש תיכון עובר דרך מקביל המקביל לצלע אותה חוצה התיכון, אז התיכון בהכרח חוצה גם את המקביל לצלע/]](לא לציטוט בבגרות)
חוצה זווית (פנימית או חיצונית) במשולש, מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית
הפוך:אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.
משולשים שווי שוקיים עריכה
אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
הפוך: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
הפוך: אם מרחקי גבהי הבסיס שווים מהשוקיים, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.
אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולש שווה צלעות עריכה
הגדרה: משולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש צלעותיו שוות באורכן ולכן כל הזוויות שוות ל-60 מעלות.
משולש ששתיים מזוויותיו שוות 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
משולש ששתיים מצלעותיו שוות וזווית אחת שלו שווה 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים ולכן כל חוקיו של משולש שווה שוקיים חלים גם על משולש שווה צלעות, כאשר כל אחת מצלעות המשולש יכולה לשמש כבסיס.
אם משולש שווה שוקים אז זוויות הבסיס שוות
מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות
הפוך: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
הגדרה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
אם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס אזי המשולש הוא שווה שוקיים (הוכחה זהה לאם במשולש חוצה זווית הראש מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים)
אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
הפוך: אם מרחקי גבהי הבסיס שווים מהשוקיים, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.
אם במשולש קיימים שני חוצי זוויות שווים אזי המשולש שווה שוקיים
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולש ישר זווית עריכה
הגדרה: משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל90 מעלות. הצלע מול הזווית בעלת 90 מעלות (הזווית הישרה) נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.
היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין הניצב השני הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "טנגנס הזווית".
היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "סינוס הזווית".
היחס בין הניצב הצמוד לזווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "קוסינוס הזווית".
במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר. משולש זה ניקרא גם משולש זהב
אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול הניצב שווה 30 מעלות.
במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית. והצלע אותה הוא חוצה היא היתר.
הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)
משפטי חפיפה עריכה
שים לב: משפטי החפיפה נובעים כולם מחוק דמיון משולשים.
הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.
אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
[[/אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים/]]. (משפט חפיפה צ.צ.ז)
אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.צ.צ)
במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות
במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות
צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צמב"ח)
זוויות מתאימות במשולשים חופפים
דמיון משולשים (וחוקים הנובעים ממנו) עריכה
כדי להוכיח דמיון משולשים די להוכיח כי:
שתי זוויות שוות בהתאמה - אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
יש יחס שווה בין שלושת הצלעות במשולש אחד לשלושת הצלעות במשולש שני.
[[/קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות בשני המשולשים והזווית בין הצלעות האלה שווה בשני המשולשים/]].
[[/אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים/]].
דמיון בין שני משולשים מכנה יחס פרופורציוני לצלעות ולזוויות:
גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון שבין הצלעות המתאימות.
[[/הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי/]] (מכאן המשפט : במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר.)
הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.
קטע אמצעים במשולש עריכה
הגדרה: קטע אמצעים במשולש הוא קטע העובר בין אמצעי שתי צלעות במשולש כאשר:
קטע אמצעים במשולש חוצה את שתי הצלעות שהוא חותך.
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה אינו חותך.
קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה אינו חותך.
הוכחה:
קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים עפ"י הגדרתו.
אם קטע במשולש חוצה צלע אחת ומקביל לצלע אחרת, הוא קטע אמצעים.
קטע המקביל לאחת הצלעות במשולש ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.
קטע אמצעים במשולש.
אם נעביר קטע אמצעים במשולש, כל קטע שנעביר מהקדקוד של שתי הצלעות הנחצות לצלע השלישית יצור שני משולשים שחלקי קטע האמצעים במשולש הגדול יהוו קטע אמצעים בהם.
קטע אמצעי במשולש:
ישר המקביל לצלע של משולש וחוצה צלע אחרת, בהכרח עובר גם דרך אמצע הצלע השלישית, כלומר, הוא קטע אמצעים.
קטע אמצעים המחבר את השוקיים - חוצה את הגובה לבסיס .
קטע אמצעים במשולש עובר בהכרח דרך אמצע כל קטע המחבר בין הקדקוד שמחבר את הצלעות שהוא חוצה לבין הצלע לה הוא מקביל, וחותך את שטח המשולש למשולש קטן וטרפז ביחס 1:3.
[[/קטע אמצעים במשולש מחלק אותו למשולש ולטרפז כך ששטח הטרפז גדול פי 3 משטח המשולש שנוצר/]] (לא לציטוט בבגרות)
באותו הנושא: