יכולים להזכיר לי את השיטה שמציבים מספר מאוד גדול בפונקציה ואז בודקים אם זה שואף ל-0 או שזה חור משהו כזה...

זה לא שיטה לבדוק. זה רק צורה שבה מוכיחים לתלמידים את הרעיון.
תעשי תחום הגדרה
תבדקי אם הוא מאפס מונה
לא מאפס זה אסימפטוטה
אם מאפס אז מצמצמים את הפונקציה
אם עדיין לא מאפס אז זה אסימפטוטה
אם כן מאפס אז חור

מקווה שלא הטעתי

בדיוק כמו שכתבת: מציבים מספר שהולכים וגדלים, ורואים לאן הפונקציה מתכנסת.