3 תשובות
לא. לפני נוסחה. יש נוסחה לחישוב נקודות מפגש, אני לא זוכר אותה, אבל יש.
שואל השאלה:
אני יודעת שלפי השוואה ביניהן, אני רק לא זוכרת איך עושים אותה...
אני יודעת שלפי השוואה ביניהן, אני רק לא זוכרת איך עושים אותה...
ראשית, רצוי להבין מהי נקודה משותפת. בהינתן שתי פונקציה (f(x ו- (g(x
המוגדרות בצורה כלשהי, נקודה משותפת היא נקודה (a,b) כך שמתקיים
f(a) = b וגם g(a) = b (כלומר נקודה שכל אחת מהפונקציות מקיימות אותה)
מטרנזיטיביות (כלל המעבר כמו שקוראים לזה בתיכון) מתקיים (f(a) = g(a
ולכן על מנת למצוא נקודה משותפת נבדוק האם ערך הפונקציה f שווה לערך הפונקציה g עבור איזשהו ערך x כלשהו, כלומר נשווה (f(x) = g(x
אם נקבל פתרון (או מספר פתרונות) זה יהיה ערך x המקיים את השוויון, אז יש נקודה שבה הפונקציות נחתכות, ואז על מנת למצוא את ערך ה- y נציב את ערך ה- x באחת מהפונקציות (מספיק באחת מכיוון ששתי הפונקציות נמצאות באותה נקודה בערך ה- x שמצאנו) . ואם נקבל פסוק שקר למשוואה (f(x) = g(x אז לא קיימת נקודה x כך ששתי הפונקציות מחזירות את אותו ערך, כלומר לא קיימת נקודת חיתוך.
במתמטיקה הכי טוב להתחבר לדברים זה על ידי דוגמאות (ורצוי בהתחלה דוגמאות פשוטות) ולכן אתן פה שתי דוגמאות:
1. נבדוק האם קיימת נקודת חיתוך לשתי הפונקציות הבאות:
f(x) = x^2
g(x) = 2x-1
ובכן אלו שתי פונקציות, על מנת למצוא האם קיימת נקודה (a,b) כך ששתי הפונקציות מקיימות, נרצה לבדוק האם קיים ערך x כך ששתי הפונקציות נמצאות באותו ערך y עבור ה- x הזה, ולכן נכתוב
(f(x) = g(x
נכתוב באופן מפורש את הביטויים שהפונקציות מוגדרות על ידיהם
x^2 = 2x - 1
נחסר (x + 1) משני האגפים ונקבל
x^2 - 2x + 1 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית, יש כמה דרכים לפתור אותה, אפשר על ידי נוסחאות וייטה, ניחוש, ויש גם את נוסחת השורשים, אני מזמין אותך לנסות לפתור, בכל מקרה הפתרונות
הם x = 1
מצאנו כי יש פתרון יחיד (במשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות/פתרון יחיד/אין פתרון) אם לא היה פתרון אז אין חיתוך.
מצאנו שיש פתרון אחד ולכן קיימת נקודת חיתוך אחת, בנוסף ערך ה- x שלה הוא 1, על מנת למצוא את ערך ה- y נציב באחת מהפונקציות (שוב, מספיק באחת מכיוון ששתי הפונקציות מקיימות את הנקודה, זוהי נקודה משותפת)
מהחלטה שרירותית נציב ב- g ונקבל
g(1)= 2*1-1 = 1
ולכן גם ערך ה- y שהתקבל הוא 1
בסך הכל הנקודה המשותפת היא (1,1)
2. דוג' נוספת, נסתכל על הפונקציות הבאות:
f(x) = 2x - 3
g(x) = 2x + 5
שוב, נשווה בין f ל- g על מנת למצוא ערך x שבו שתיהן מחזירות אותו y
(f(x) = g(x
נכתוב באופן מפורש
2x - 3 = 2x + 5
נשים לב שאם נחסר 2x משני באגפים נקבל
5 = 3-
זהו פסוק שקר מכיוון שהמספר 5 אינו שווה למספר 3- ולכן לא קיים ערך x עבורו שתי הפונקציות מחזירות אותו y ולכן לא קיימת נקודת חיתוך (נקודת משותפת) של הפונקציות הנ"ל.
אני מקווה שהדברים קצת יותר מובנים, באופן כללי רצוי להבין מהי בכלל פונקציה (לא רק במקרים שפונקציה מוגדרת על מספרים) זה עוזר יותר להתחבר לדברים וגם כאשר לא יודעים, על ידי הבנה מלאה של ההגדרה בלבד ניתן ללמוד לבד ולהוציא את המידע הדרוש כדי לפתור כל שאלה, במידה ותרצי אשמח להרחיב על נושא הפונקציות באופן כללי.
בהצלחה !
המוגדרות בצורה כלשהי, נקודה משותפת היא נקודה (a,b) כך שמתקיים
f(a) = b וגם g(a) = b (כלומר נקודה שכל אחת מהפונקציות מקיימות אותה)
מטרנזיטיביות (כלל המעבר כמו שקוראים לזה בתיכון) מתקיים (f(a) = g(a
ולכן על מנת למצוא נקודה משותפת נבדוק האם ערך הפונקציה f שווה לערך הפונקציה g עבור איזשהו ערך x כלשהו, כלומר נשווה (f(x) = g(x
אם נקבל פתרון (או מספר פתרונות) זה יהיה ערך x המקיים את השוויון, אז יש נקודה שבה הפונקציות נחתכות, ואז על מנת למצוא את ערך ה- y נציב את ערך ה- x באחת מהפונקציות (מספיק באחת מכיוון ששתי הפונקציות נמצאות באותה נקודה בערך ה- x שמצאנו) . ואם נקבל פסוק שקר למשוואה (f(x) = g(x אז לא קיימת נקודה x כך ששתי הפונקציות מחזירות את אותו ערך, כלומר לא קיימת נקודת חיתוך.
במתמטיקה הכי טוב להתחבר לדברים זה על ידי דוגמאות (ורצוי בהתחלה דוגמאות פשוטות) ולכן אתן פה שתי דוגמאות:
1. נבדוק האם קיימת נקודת חיתוך לשתי הפונקציות הבאות:
f(x) = x^2
g(x) = 2x-1
ובכן אלו שתי פונקציות, על מנת למצוא האם קיימת נקודה (a,b) כך ששתי הפונקציות מקיימות, נרצה לבדוק האם קיים ערך x כך ששתי הפונקציות נמצאות באותו ערך y עבור ה- x הזה, ולכן נכתוב
(f(x) = g(x
נכתוב באופן מפורש את הביטויים שהפונקציות מוגדרות על ידיהם
x^2 = 2x - 1
נחסר (x + 1) משני האגפים ונקבל
x^2 - 2x + 1 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית, יש כמה דרכים לפתור אותה, אפשר על ידי נוסחאות וייטה, ניחוש, ויש גם את נוסחת השורשים, אני מזמין אותך לנסות לפתור, בכל מקרה הפתרונות
הם x = 1
מצאנו כי יש פתרון יחיד (במשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות/פתרון יחיד/אין פתרון) אם לא היה פתרון אז אין חיתוך.
מצאנו שיש פתרון אחד ולכן קיימת נקודת חיתוך אחת, בנוסף ערך ה- x שלה הוא 1, על מנת למצוא את ערך ה- y נציב באחת מהפונקציות (שוב, מספיק באחת מכיוון ששתי הפונקציות מקיימות את הנקודה, זוהי נקודה משותפת)
מהחלטה שרירותית נציב ב- g ונקבל
g(1)= 2*1-1 = 1
ולכן גם ערך ה- y שהתקבל הוא 1
בסך הכל הנקודה המשותפת היא (1,1)
2. דוג' נוספת, נסתכל על הפונקציות הבאות:
f(x) = 2x - 3
g(x) = 2x + 5
שוב, נשווה בין f ל- g על מנת למצוא ערך x שבו שתיהן מחזירות אותו y
(f(x) = g(x
נכתוב באופן מפורש
2x - 3 = 2x + 5
נשים לב שאם נחסר 2x משני באגפים נקבל
5 = 3-
זהו פסוק שקר מכיוון שהמספר 5 אינו שווה למספר 3- ולכן לא קיים ערך x עבורו שתי הפונקציות מחזירות אותו y ולכן לא קיימת נקודת חיתוך (נקודת משותפת) של הפונקציות הנ"ל.
אני מקווה שהדברים קצת יותר מובנים, באופן כללי רצוי להבין מהי בכלל פונקציה (לא רק במקרים שפונקציה מוגדרת על מספרים) זה עוזר יותר להתחבר לדברים וגם כאשר לא יודעים, על ידי הבנה מלאה של ההגדרה בלבד ניתן ללמוד לבד ולהוציא את המידע הדרוש כדי לפתור כל שאלה, במידה ותרצי אשמח להרחיב על נושא הפונקציות באופן כללי.
בהצלחה !
באותו הנושא: