פרדוקס יום ההולדת

אני מניח שהרבה אנשים לא מכירים את הפרדקוס והוא מאוד מעניין. פרדוקס - מתנגד לאינטואיציה של הרבה אנשים.

יש מספר מסויים של אנשים בחדר, אנחנו רוצים למצוא מה ההסתברות שלפחות ל-2 אנשים בחדר יש את אותו תאריך היום הולדת (ללא שנה). אני אכתוב פתרון קומבינטורי למי שמעוניין.

עבור 23 אנשים בחדר, ההסתברות שלפחות ל-2 אנשים יש את אותו תאריך יום הולדת היא 50%.
עבור 57+ אנשים, ההסתברות כבר מעל 99% שיהיו 2 אנשים עם אותו תאריך יום הולדת.


פתרון:
נחשב את המקרה ההפוך, מה ההסתברות שאף אחד בחדר לא חלק תאריך יום הולדת עם מישהו אחר. ונחזור לשאלה המקורית על ידי אחד פחות ההסתברות של המקרה ההפוך.
לאיש הראשון יש 365 ימים "פנויים", לאיש השני יש 364 ימים "פנויים" כי האיש הראשון לקח כבר יום אחד. וכך הלאה, לאיש ה-23 יש 343 ימים "פנויים". ככה לכולם יש ימי הולדת בתאריכים שונים.
לכן נכפיל את ההסתברויות של כל האנשים ביחד:
(365/365)*(364/365)*(363/365)*...*(343/365)=0.4927
ולכן אם נעשה 1 פחות ההסתברות שאף אחד לא חולק יום הולדת, נקבל את ההסתברות שלפחות 2 אנשים חולקים יום הולדת, וזה יוצא 0.5072 כלומר 50%.
אותו דבר עבור 57+, ההסתברות שאף אחד לא חולק יום הולדת קטן מ0.0099 לכן ההסתברות שלפחות 2 חולקים יום הולדת מתוך 57+ אנשים הוא מעל 0.99 כלומר 99%+


מי שעדיין לא מאמין או שזה מרגיש לו מאוד מוזר שעבור 57 אנשים כמעט בוודאות יהיו 2 אנשים שחולקים יום הולדת, תכתבו את התאריך יום הולדת שלכם, ונראה באיזה מספר של אנשים כבר יהיו 2 עם אותו תאריך יום הולדת :)