5 תשובות
3x + y = 21
x - 5y = 7

ראשית מהי משוואה?
משוואה היא שוויון בין שני ביטויים אלגבריים, כאשר ביטוי אלגברי הוא ביטוי חשבוני (חיבור / חיסור / כפל / חילוק של מספרים) שמופיע בו נעלם, בדרך כלל מסמנים את הנעלם ב- x או y.
דוגמה לביטויים אלגבריים:
2x
x
2+x
דוגמה לביטוי קצת יותר מסובך למשל
2x+5)/x)

נשים לב שעבור כל ערך איקס שנציב נקבל מספר, למשל בביטוי 2x שמופיע, אם נציב x ששווה לאחד נקבל 2, ואם נציב איקס ששווה לחמש נקבל 10.
כאשר נרצה לפתור משוואה בעצם נרצה למצוא עבור אילו ערכי איקס שנציב נקבל בשני הביטויים את אותו המספר, כלומר נקבל שוויון, ומכאן השם משוואה. כאשר נרצה לפתור משוואה נתייחס לכך כאילו השוויון מתקיים, אך עם נעלם. אם באמת מתקיים שוויון אז נוכל לבצע את אותן הפעולות על שני האגפים (הביטויים) והשוויון ישמר.
דוגמה מספרית:
אנו יודעים כי 2 שווה לעצמו ולכן ניתן לכתוב
2 = 2
כעת אם נבצע את אותן הפעולות על שני האגפים, השוויון ישמר, אם למשל נכפול את שני האגפים ב- 5 נקבל:
2*5 = 2*5
כלומר
10 = 10
ולא תמיד 2 חייב להראות כמו עצמו, זה נכון לכתוב גם
1 + 1 = 2
וגם בצורה זאת, אם נבצע פעולות על שני האגפים השוויון ישמר.
וכך נסתכל גם על משוואה.

כאשר מופיעות שתי משוואות בשני נעלמים, נרצה בעצם למצוא עבור אילו ערכים של הנעלמים נקבל שוויון בשתי המשוואות.
יש 2 דרכים לפתרון של שתי משוואות בשני נעלמים:
דרך ראשונה - בידוד והצבה
נרצה לבודד את אחד הנעלמים על ידי ביצוע פעולות על שני האגפים:
למשל בתרגיל שלך
נסתכל על המשוואה הראשונה
3x + y = 21
נחסר 3x משני האגפים, באגף השמאלי נקבל ש- 3x ו- 3x- מצטמצמים ונקבל את המשוואה
y = 21 - 3x
כעת נרצה לציב את הנעלם שמצאנו, במשוואה השניה, (כיוון שמצאנו דרך להביע את הנעלם y באמצעות הנעלם השני, כאשר נציבו במשוואה השניה, נישאר רק עם נעלם אחד ואז נוכל למצוא את ערכו)
זו המשוואה השניה
x - 5y = 7
לאחר שנציב את הערך y שמצאנו נקבל
x - 5(21 - 3x) = 7
כעת זה בדיוק כמו לפתור משוואה אחת בנעלם אחד, נרצה לבודד את הנעלם באגף ולמצוא את ערכו. נפתח את הסוגריים ונקבל
x - 105 + 15x = 7
נחבר איברים דומים ונקבל
16x - 105 = 7
נוסיף 105 לשני האגפים ונקבל
16x = 7 + 105
16x = 112
נחלק את שני האגפים ב- 16 ונקבל
x = 112/16
כלומר
x = 7
אך עדיין לא סיימנו, כעת יש להציב את הערך שמצאנו של איקס באחת מהמשוואות ההתחלתיות, שבהן גם y מופיע, על מנת שנמצא גם את ערכו. אך נשים לב שכבר בודדנו את y במשוואה הראשונה, ולכן ניתן להציב במשוואה שכבר בודדנו, אחרת אם נציב את איקס במשוואה הראשונה, שוב נהיה חייבים לבודד את y, אך נחסוך עבודה כפולה ונציב במשוואה שבה y מבודד.
y = 21 - 3x
נציב x = 7 ונקבל
y = 21 - 3*7
y = 21 - 21
כלומר
y = 0

ולכן עבור המשוואות
3x + y = 21
x - 5y = 7
הערכים
x = 7 ו- y = 3 פותרים את שתי המשוואות ביחד (כלומר עבור הערכים האלה באמת נקבל שוויון בשתי המשוואות)

דרך נוספת לפתרון שתי המשוואות תופיע בתגובה הבאה.
שואל השאלה:
תודה רבה רבה! :)
עשית לי סדר בראש
אנונימית
שואל השאלה:
איך מבודדים את האיקס?
אני באמת לא זוכרת את הנושא הזה
אנונימית
תבודדי את האיקס במשוואה השניה
ואז תציבי את האיקס במשוואה הראשונה
ואז יצא לך x ו y
דרך נוספת לפתרון מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים היא השוואות מקדמים וחיסור המשוואות:
3x + y = 21
x - 5y = 7
נסתכל על שתי המשוואות שמופיעות למעלה, נרצה לכפול את שני האגפים של המשוואה השנייה ב- 3
נקבל כעת שהמשוואה השניה היא
3x - 15y = 21
כעת שוב נסתכל על שתי המשוואות, אך הפעם עם המשוואה החדשה
3x + y = 21
3x - 15y = 21

אנו יודעים כי מותר לנו לבצע את אותן הפעולות על שני האגפים, לחסר מספר, להוסיף מספר וכו'
נרצה לחסר בכל אגף של ההמשוואה הראשונה את המספר 3x - 15 (ולכן הכפלנו את המשוואה השניה ב- 3, כי אז נוכל "להיפטר" מהנעלם איקס)
אך נשים לב שבגלל השוויון 3x - 15 = 21, נוכל לחסר באגף השני את המספר 21 (כי 21 שווה לביטוי 3x - 15)
נקבל שהמשוואה הראשונה היא
3x + y - (3x - 15y) = 21 - 21
באגף שמאל 3x ו- 3x- מצטמצמים, ובאגף ימין 21 ו- 21- מצטמצמים ובסופו של דבר נקבל
y + 16y = 0
כלומר
17y = 0
נחלק את שני האגפים ב- 17 ונקבל
y = 0

כעת נרצה להציב את ערך y שקיבלנו על מנת למצוא את ערכו של x, הפעם לא בודדנו את x ולכן אין עדיפות באיזו משוואה להציב את y, אך נציב במשוואה המקורית השנייה, כי שם x מופיע עם מקדם 1 ולכן לא נצטרך לחלק ויהיה קל לבודד אותו. (וגם ניתן לראות שלאחר שנציב את y נמצא ישר את ערך איקס, אחרת אם היינו מציבים במשוואה הראשונה, היינו צריכים גם לחלק ב- 3 את שני האגפים)
x - 5y = 7
נציב y = 0 ונקבל
x - 5*0 = 7
כלומר x = 7.

אם תהיי מעוניינת, יש סרטונים ממש טובים שמסבירים בדיוק מהי משוואה ואיך לפתור אותה, בנוסף מופיעים של עוד נושאים כמו פונקציות, וכדומה...
בסרטונים נותנים מושג לדברים ומגדירים אותם היטב (לא כמו בבית הספר) נכנסים לעומק הדברים ומדוע הם קוראים.
כי כמו שאת אמרת, שכחת איך לבודד את איקס, אך זה כיוון שאינך מודעת למשמעות המילה לבודד, העברת אגפים אינה מושג מתמטי, לא קיימת פעולה שמעבירים בה אגפים, אך זו דרך שנוטים להסתכל על ביצוע פעולות על שני האגפים, וכשאומרים נעביר את x אגף לא תמיד מודעים לכך שבעצם מחסרים או מוסיפים את x משני האגפים. וזה רע מאוד לא לדעת את זה, כי במתמטיקה לכל דבר יש סיבה והגיון, זה הגיוני שאם יש שוויון אז כאשר נבצע את אותן הפעולות השוויון ישמר, וכאשר מבינים זאת אז לעולם לא שוכחים איך לפתור משוואה, כי זה פשוט הגיוני.

בהצלחה ואני מאחל לך להבין ולא רק ללמוד.