17 תשובות
שואל השאלה:
^כן תודה
^כן תודה
אדם חוזר בזמן והורג את סבא שלו,אז הוא לא יכול להיוולד מלכתחילה.
אכילס והצב-פרדוקס ידוע-אכילס רץ מהר פי 10 מהצב והם מתחרים כאשר אכילס מתחיל 100 מטר אחרי הצב.אחרי 100 מטר הצב התקדם 10 מטר שאכילס עבר ובינתיים הצב התקדם מטר וכן הלאה.אכילס תמיד יהיה עשירית המרחק הקודם אחרי הצב אבל לא ישיג אותו לעולם.
אכילס והצב-פרדוקס ידוע-אכילס רץ מהר פי 10 מהצב והם מתחרים כאשר אכילס מתחיל 100 מטר אחרי הצב.אחרי 100 מטר הצב התקדם 10 מטר שאכילס עבר ובינתיים הצב התקדם מטר וכן הלאה.אכילס תמיד יהיה עשירית המרחק הקודם אחרי הצב אבל לא ישיג אותו לעולם.
קפאין מעורר וחלב מרדים
לשתות נס קפה כשעייפים עוזר?
לשתות נס קפה כשעייפים עוזר?
אכילס והצב** reuven
פרדוקס נוסף:
אצן עובר מסלול (נניח באורך קילומטר). הוא מחזק שני דגלים, האחד לבן והשני אדום.
ובכל רגע נתון במהלך הריצה שלו הוא מניף אחד מהם.
ונניח שהוא יכול להחליף בינהם מהר ככל שירצה.
הוא מתחיל את הריצה כאשר הדגל האדום מונף.
בנקודת האמצע, לאחר חצי קילומטר הוא מחליף בין הדגלים.
ואז נשאר לו חצי קילומטר ובנקודת האמצע הבאה, לאחר רבע קילומטר הוא שוב מחליף בין הדגלים.
וכל פעם הוא מחליף בין אדם ללבן בחצי הדרך שנותרת לו מההחלפה האחרונה.
כך הוא מחליף אינסוף פעמים..
מה יהיה צבע הדגל ברגע שיחצה את קוו הסיום?
אצן עובר מסלול (נניח באורך קילומטר). הוא מחזק שני דגלים, האחד לבן והשני אדום.
ובכל רגע נתון במהלך הריצה שלו הוא מניף אחד מהם.
ונניח שהוא יכול להחליף בינהם מהר ככל שירצה.
הוא מתחיל את הריצה כאשר הדגל האדום מונף.
בנקודת האמצע, לאחר חצי קילומטר הוא מחליף בין הדגלים.
ואז נשאר לו חצי קילומטר ובנקודת האמצע הבאה, לאחר רבע קילומטר הוא שוב מחליף בין הדגלים.
וכל פעם הוא מחליף בין אדם ללבן בחצי הדרך שנותרת לו מההחלפה האחרונה.
כך הוא מחליף אינסוף פעמים..
מה יהיה צבע הדגל ברגע שיחצה את קוו הסיום?
עוד אחד:
דמיינו בריכה אינסופית בגודל שיכולה לאכסן אינספור כדורים.
בבריכה בינתיים כדור אחד בודד שרשום עליו 1.
יש לי סופר משימה שאני רוצה לבצע:
בשלב הראשון בסופר משימה:
אני מוציא את כדור 1 ומוסיף את כדורים 2,3 (שרשום עליהם 2 ו3).
בשלב השני אני מוציא את כדור מספר 2 ומוסיף את כדורים 4,5.
בשלב שלוש אני מוציא את כדור מספר 3 ומוסיף את כדורים 6, 7.
וכך הלאה...
כל שלב מוצי כדור ומכניס 2 חדשים לפי החוקיות הזו.
כל שלב אני עושה בחצי מהזמן שנדרש לי לעשות את השלב הקודם כך שבזמן סופי אני מסיים את הסופר משימה.
כמה כדורים יש בבריכה לאחר שביצעתי את הסופר משימה?
יש פה תשובה לוגית והיא דורשת נימוק.
*תניחו שאיכשהו אנחנו מצליחים למספר את הכדורים אפילו שהמספרים נהיים מאוד ארוכים.*
דמיינו בריכה אינסופית בגודל שיכולה לאכסן אינספור כדורים.
בבריכה בינתיים כדור אחד בודד שרשום עליו 1.
יש לי סופר משימה שאני רוצה לבצע:
בשלב הראשון בסופר משימה:
אני מוציא את כדור 1 ומוסיף את כדורים 2,3 (שרשום עליהם 2 ו3).
בשלב השני אני מוציא את כדור מספר 2 ומוסיף את כדורים 4,5.
בשלב שלוש אני מוציא את כדור מספר 3 ומוסיף את כדורים 6, 7.
וכך הלאה...
כל שלב מוצי כדור ומכניס 2 חדשים לפי החוקיות הזו.
כל שלב אני עושה בחצי מהזמן שנדרש לי לעשות את השלב הקודם כך שבזמן סופי אני מסיים את הסופר משימה.
כמה כדורים יש בבריכה לאחר שביצעתי את הסופר משימה?
יש פה תשובה לוגית והיא דורשת נימוק.
*תניחו שאיכשהו אנחנו מצליחים למספר את הכדורים אפילו שהמספרים נהיים מאוד ארוכים.*
פרדוקס שקשור להבנה מוטעית של המונח תוחלת/ממוצע:
הקדמה:
*מי שמבין הסתברות ברמה בסיסית מסויימת, ייתכן שהוא יכול לדלג על ההקדמה.*
תוחלת רווח, או ממוצע רווח של הימור/משחק, זה סכום ממושקל של כל הרווחים שאפשר להרוויח מהימור/משחק.
הרבה פעמים כשאנשים רוצים לדעת האם כדאי להשתתף במשחק, אנחנו מחשבים את הרווח הממוצע.
לדוגמא: בניסוי של הטלת מטבע הוגן כאשר בעץ אני מרוויח 3 שקלים ובפלי מפסיד שקל, הרווח הממוצע שלי הוא סכום ממושקל (לפי הסתברויות) של הרווחים: שזה 3 כפול חצי ועוד -1 כפול חצי. שזה יוצא בסך הכל 1.
הרווח הממוצע שלי מהמשחק הזה הוא 1.
כיוון שבממוצע אני מרוויח ערך חיובי, אז כדאי לי להשתתף בו.
*סוף הקדמה*
עכשיו לפרדוקס:
במשחק חדש שנפתח החוקים הם כאלה: מטילים מטבע, מסתכלים מה יצא, אם זה פלי, אז מסיימים, אם זה עץ אז מטילים שוב... עד שיוצא פלי שמסיים.
לאחר שזה מסתיים כמות הכסף שמקבלים היא 2 בחזקת מספר ההטלות.
אם יצא לי פלי על הטלה הראשונה, אני מקבל 2 שקל.
אם יצא לי פלי בהטלה השנייה, אני מקבל 4 שקלים.
אם יצא לי פלי בהטלה השלישית, אני מקבל 8 שקלים.
וכל הלאה...
כמה כסף הייתם מוכנים לשלם עבור כרטיס למשחק כזה?
הפרדוקס יהיה התשובה המפתיעה שמקבלים כאשר עושים שיקולים של תוחלת.
הקדמה:
*מי שמבין הסתברות ברמה בסיסית מסויימת, ייתכן שהוא יכול לדלג על ההקדמה.*
תוחלת רווח, או ממוצע רווח של הימור/משחק, זה סכום ממושקל של כל הרווחים שאפשר להרוויח מהימור/משחק.
הרבה פעמים כשאנשים רוצים לדעת האם כדאי להשתתף במשחק, אנחנו מחשבים את הרווח הממוצע.
לדוגמא: בניסוי של הטלת מטבע הוגן כאשר בעץ אני מרוויח 3 שקלים ובפלי מפסיד שקל, הרווח הממוצע שלי הוא סכום ממושקל (לפי הסתברויות) של הרווחים: שזה 3 כפול חצי ועוד -1 כפול חצי. שזה יוצא בסך הכל 1.
הרווח הממוצע שלי מהמשחק הזה הוא 1.
כיוון שבממוצע אני מרוויח ערך חיובי, אז כדאי לי להשתתף בו.
*סוף הקדמה*
עכשיו לפרדוקס:
במשחק חדש שנפתח החוקים הם כאלה: מטילים מטבע, מסתכלים מה יצא, אם זה פלי, אז מסיימים, אם זה עץ אז מטילים שוב... עד שיוצא פלי שמסיים.
לאחר שזה מסתיים כמות הכסף שמקבלים היא 2 בחזקת מספר ההטלות.
אם יצא לי פלי על הטלה הראשונה, אני מקבל 2 שקל.
אם יצא לי פלי בהטלה השנייה, אני מקבל 4 שקלים.
אם יצא לי פלי בהטלה השלישית, אני מקבל 8 שקלים.
וכל הלאה...
כמה כסף הייתם מוכנים לשלם עבור כרטיס למשחק כזה?
הפרדוקס יהיה התשובה המפתיעה שמקבלים כאשר עושים שיקולים של תוחלת.
אני עומד להציג פרדוקס אחד שממש אהבתי.
לי הוא הוצג כחידה, וזה היה ממש מהנה לפתור אותה.
אז אני גם אציג אותו כחידה להנאתכם.
התשובה היא בעצם הגעה לפרדוקס.
משחקים בין שני שחקנים יכולים להסתיים תמיד לאחר מספר סופי של צעדים ועלולים להיות אינסופיים בפוטנציה.
לדוגמא, משחק דמקה, פוקנציאלית הוא אינסופי, למשל אם שני השחקנים עושים מלכה ופשוט עושים שטויות על הלוח במשך אינסוף צעדים מבלי לאכול זה את זה.
עם זאת, איקס עיגול זה משחק שהוא בהכרח סופי, כי לאחר 9 מהלכים המשחק בוודאות מסתיים או מסתיים אף לפני ונקבע מי מנצח/מפסיד או האם היה תקו.
וכך על כל משחק שמשוחק בין שני שחקנים אנחנו יכולים לשאול האם בפוטנציה הוא יכול להיות אינסופי, או שהוא חייב להיות סופי בהכרח.
להלן חוקי המולטי משחק:
השחקן שמתחיל בוחר משחק מבין המשחקים הסופיים בהכרח.
בתור השני השחקן השני מתחיל במשחק שנבחר והשחקנים משחקים במשחק זה.
הפרדוקס - האם המולטי משחק הוא משחק סופי בהכרח או שהוא משחק שעלול להיות אינסופי?
וכמובן, יש לנמק את התשובה.
לי הוא הוצג כחידה, וזה היה ממש מהנה לפתור אותה.
אז אני גם אציג אותו כחידה להנאתכם.
התשובה היא בעצם הגעה לפרדוקס.
משחקים בין שני שחקנים יכולים להסתיים תמיד לאחר מספר סופי של צעדים ועלולים להיות אינסופיים בפוטנציה.
לדוגמא, משחק דמקה, פוקנציאלית הוא אינסופי, למשל אם שני השחקנים עושים מלכה ופשוט עושים שטויות על הלוח במשך אינסוף צעדים מבלי לאכול זה את זה.
עם זאת, איקס עיגול זה משחק שהוא בהכרח סופי, כי לאחר 9 מהלכים המשחק בוודאות מסתיים או מסתיים אף לפני ונקבע מי מנצח/מפסיד או האם היה תקו.
וכך על כל משחק שמשוחק בין שני שחקנים אנחנו יכולים לשאול האם בפוטנציה הוא יכול להיות אינסופי, או שהוא חייב להיות סופי בהכרח.
להלן חוקי המולטי משחק:
השחקן שמתחיל בוחר משחק מבין המשחקים הסופיים בהכרח.
בתור השני השחקן השני מתחיל במשחק שנבחר והשחקנים משחקים במשחק זה.
הפרדוקס - האם המולטי משחק הוא משחק סופי בהכרח או שהוא משחק שעלול להיות אינסופי?
וכמובן, יש לנמק את התשובה.
לגבי השאלה עם הכדורים בבריכה-מה הכוונה 'זמן סופי'?
נראה לי שחסרים נתונים.החוקיות ברורה אבל איך לגשת לחישוב הזמן לא ברור.בתיאוריה אפשר להגיע למהירויות החלפה מהירות השואפות לאינסוף.
נראה לי שחסרים נתונים.החוקיות ברורה אבל איך לגשת לחישוב הזמן לא ברור.בתיאוריה אפשר להגיע למהירויות החלפה מהירות השואפות לאינסוף.
"להלן חוקי המולטי משחק:
השחקן שמתחיל בוחר משחק מבין המשחקים הסופיים בהכרח.
בתור השני השחקן השני מתחיל במשחק שנבחר והשחקנים משחקים במשחק זה."
לא בטוח שהבנתי את המשפט האחרון.האם יש עוד שחקנים?האם השחקן השני ממשיך את המשחק הסופי שהראשון התחיל ואלה שאחריו ממשיכים כמוהו?
השחקן שמתחיל בוחר משחק מבין המשחקים הסופיים בהכרח.
בתור השני השחקן השני מתחיל במשחק שנבחר והשחקנים משחקים במשחק זה."
לא בטוח שהבנתי את המשפט האחרון.האם יש עוד שחקנים?האם השחקן השני ממשיך את המשחק הסופי שהראשון התחיל ואלה שאחריו ממשיכים כמוהו?
לא מובן לי המשחק עץ ופלי בהטלה.
מצד אחד אם פלי-מסיימים.אם עץ-ממשיכים עד שיוצא פלי שמסיים משחק.
אבל השאלה היא לגבי פלי בהטלות ראשונה,שנייה,שלישית...כאשר לפי הנתון הראשון פלי מפסיק את המשחק.
מצד אחד אם פלי-מסיימים.אם עץ-ממשיכים עד שיוצא פלי שמסיים משחק.
אבל השאלה היא לגבי פלי בהטלות ראשונה,שנייה,שלישית...כאשר לפי הנתון הראשון פלי מפסיק את המשחק.
פרדוקס 'אני משקר'.
אדם אומר 'אני משקר עכשיו' או 'הטענה שאעלה שקרית'.
אם הקביעה הזו אמיתית-עולה שהטענה שלו אכן שקרית אבל אם היא שקרית-נובע מעצם היותה שקר שהטענה לא נכונה ולכן אמיתית.
יש גם את פרדוקס האיש מכרתים הטוען 'כל תושבי הכרתים שקרנים' . אם הוא אומר אמת-משתמע שהוא למעשה משקר ואנשי כרתים כולל הוא עצמו שקרנים ולכן אם הוא שקרן-טענתו שכל אנשי כרתים שקרנים אינה אמיתית ויש ביניהם דוברי אמת.
אדם אומר 'אני משקר עכשיו' או 'הטענה שאעלה שקרית'.
אם הקביעה הזו אמיתית-עולה שהטענה שלו אכן שקרית אבל אם היא שקרית-נובע מעצם היותה שקר שהטענה לא נכונה ולכן אמיתית.
יש גם את פרדוקס האיש מכרתים הטוען 'כל תושבי הכרתים שקרנים' . אם הוא אומר אמת-משתמע שהוא למעשה משקר ואנשי כרתים כולל הוא עצמו שקרנים ולכן אם הוא שקרן-טענתו שכל אנשי כרתים שקרנים אינה אמיתית ויש ביניהם דוברי אמת.
שאלה-לא ממש פרדוקס-בנושא אמת ושקר.
אדם נפטר ומגיע לצומת שידוע שכיוון אחד יוביל לגן העדן והשני לגיהינום.בכניסה לכל כיוון עומד מלאך שידוע שאחד שקרן והשני דובר אמת אבל האיש לא יודע איזו דרך מוליכה לאן ואיזה מלאך משקר ודובר אמת. כמובן שהוא רוצה להגיע לגן עדן.
המילכוד הוא -הוא יכול לשאול רק מלאך אחד שאלה אחת. מה יעשה?
אדם נפטר ומגיע לצומת שידוע שכיוון אחד יוביל לגן העדן והשני לגיהינום.בכניסה לכל כיוון עומד מלאך שידוע שאחד שקרן והשני דובר אמת אבל האיש לא יודע איזו דרך מוליכה לאן ואיזה מלאך משקר ודובר אמת. כמובן שהוא רוצה להגיע לגן עדן.
המילכוד הוא -הוא יכול לשאול רק מלאך אחד שאלה אחת. מה יעשה?
"לגבי השאלה עם הכדורים בבריכה-מה הכוונה 'זמן סופי'?
נראה לי שחסרים נתונים.החוקיות ברורה אבל איך לגשת לחישוב הזמן לא ברור.בתיאוריה אפשר להגיע למהירויות החלפה מהירות השואפות לאינסוף."
הכוונה היא שאם תבחר יחידות זמן כלשהן שמקובלות איפשהו בכדור הארץ, שעה, שנייה, דקה, פלאנק זמן, כל יחידת זמן, יממות, ימים... אז כמות הזמן שתיקח לביצוע המשימה תהיה סופית.
כן, מגיעים למהירויות החלפה אינסופיות.
הפואנטה היא לא הדברים האלה, אלא אתה נדרש לענות על השאלה בנוגע לאיך שהבריכה תראה לאחר שביצענו את המולטי משימה שמורכבת מאינסוף משימות.
מבחינתנו אין בעיה במהירויות החלפה גדולות במידה שרירותית. ומבחינתנו אנחנו יכולים לסיים את המולטי משימה לאחר זמן סופי. (למשל 13.24132 שעות או משהו סופי אחר זה לא משנה)
נראה לי שחסרים נתונים.החוקיות ברורה אבל איך לגשת לחישוב הזמן לא ברור.בתיאוריה אפשר להגיע למהירויות החלפה מהירות השואפות לאינסוף."
הכוונה היא שאם תבחר יחידות זמן כלשהן שמקובלות איפשהו בכדור הארץ, שעה, שנייה, דקה, פלאנק זמן, כל יחידת זמן, יממות, ימים... אז כמות הזמן שתיקח לביצוע המשימה תהיה סופית.
כן, מגיעים למהירויות החלפה אינסופיות.
הפואנטה היא לא הדברים האלה, אלא אתה נדרש לענות על השאלה בנוגע לאיך שהבריכה תראה לאחר שביצענו את המולטי משימה שמורכבת מאינסוף משימות.
מבחינתנו אין בעיה במהירויות החלפה גדולות במידה שרירותית. ומבחינתנו אנחנו יכולים לסיים את המולטי משימה לאחר זמן סופי. (למשל 13.24132 שעות או משהו סופי אחר זה לא משנה)
"לא בטוח שהבנתי את המשפט האחרון.האם יש עוד שחקנים?האם השחקן השני ממשיך את המשחק הסופי שהראשון התחיל ואלה שאחריו ממשיכים כמוהו?"
כל המשחקים בפרדוקס הזה הם משחקים בין שני שחקנים בדיוק.
פתחתי בדיבור על משחקים עם שני שחקנים בדיוק. לא חשבתי לציין שאני מדבר רק עליהם.
אני אסביר את החוקים של המולטי משחק שוב:
בשביל שיהיה ברור, נסמן את שני השחקנים ב"אליס" ו"בוב".
נניח בלי הגבלת הכלליות שאליס היא זו שפותחת:
אליס מתבקשת לבחור משחק בין רשימת המשחקים הסופיים בהכרח.
לאחר שאליס בוחרת משחק, נסמנות בg, בוב נדרש לפתוח (לפתוח, כלומר תורו ראשון) את המשחק g ואליס ובוב משחקים יחדיו בg מעתה.
דוגמא של ריצה של המולטי משחק:
נניח שאני ואתה משחקים.
נניח שאני מתחיל.
אז אני בוחר איקס עיגול.
עכשיו אנחנו משחקים איקס עיגול ואתה מתחיל.
אני מקווה שזה היה מובן עכשיו.
ושוב בחזרה לשאלה, האם המולטי משחק הוא סופי בהכרח או שהוא משחק שעלול להיות אינסופי?
כל המשחקים בפרדוקס הזה הם משחקים בין שני שחקנים בדיוק.
פתחתי בדיבור על משחקים עם שני שחקנים בדיוק. לא חשבתי לציין שאני מדבר רק עליהם.
אני אסביר את החוקים של המולטי משחק שוב:
בשביל שיהיה ברור, נסמן את שני השחקנים ב"אליס" ו"בוב".
נניח בלי הגבלת הכלליות שאליס היא זו שפותחת:
אליס מתבקשת לבחור משחק בין רשימת המשחקים הסופיים בהכרח.
לאחר שאליס בוחרת משחק, נסמנות בg, בוב נדרש לפתוח (לפתוח, כלומר תורו ראשון) את המשחק g ואליס ובוב משחקים יחדיו בg מעתה.
דוגמא של ריצה של המולטי משחק:
נניח שאני ואתה משחקים.
נניח שאני מתחיל.
אז אני בוחר איקס עיגול.
עכשיו אנחנו משחקים איקס עיגול ואתה מתחיל.
אני מקווה שזה היה מובן עכשיו.
ושוב בחזרה לשאלה, האם המולטי משחק הוא סופי בהכרח או שהוא משחק שעלול להיות אינסופי?
"לא מובן לי המשחק עץ ופלי בהטלה.
מצד אחד אם פלי-מסיימים.אם עץ-ממשיכים עד שיוצא פלי שמסיים משחק.
אבל השאלה היא לגבי פלי בהטלות ראשונה,שנייה,שלישית...כאשר לפי הנתון הראשון פלי מפסיק את המשחק."
לא הבנתי את השאלה שלך.. מה לגבי ההטלות הראשונה, שנייה, שלישית..?
ברגע שיש פלי, פעם ראשונה שיש פלי, מפסיקים להטיל ומביאים את הכסף לפי החוקים.
עוד פעם, חוקי המשחק:
מטילים מטבע עד שיוצא פלי לראשונה ואז המשתתף מקבל (2 בחזקת כמות ההטלות שבוצעו) שקלים.
כמה כסף כדאי לשלם עבור כרטיס למשחק?
מצד אחד אם פלי-מסיימים.אם עץ-ממשיכים עד שיוצא פלי שמסיים משחק.
אבל השאלה היא לגבי פלי בהטלות ראשונה,שנייה,שלישית...כאשר לפי הנתון הראשון פלי מפסיק את המשחק."
לא הבנתי את השאלה שלך.. מה לגבי ההטלות הראשונה, שנייה, שלישית..?
ברגע שיש פלי, פעם ראשונה שיש פלי, מפסיקים להטיל ומביאים את הכסף לפי החוקים.
עוד פעם, חוקי המשחק:
מטילים מטבע עד שיוצא פלי לראשונה ואז המשתתף מקבל (2 בחזקת כמות ההטלות שבוצעו) שקלים.
כמה כסף כדאי לשלם עבור כרטיס למשחק?
שואל השאלה:
^וגם למה לא מופיעים אנשים משום מקום ואומרים אני מהעתיד
^וגם למה לא מופיעים אנשים משום מקום ואומרים אני מהעתיד
באותו הנושא: