3 תשובות
קובץ:completing the square.ogv
הדמיה גאומטרית מונפשת של תהליך ההשלמה לריבוע.
completing the square.png
השלמה לריבוע היא טכניקה אלגברית לטיפול בביטוי מהצורה
{\displaystyle \ ax^{2}+bx+c} {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c}
הנקרא גם טרינום או משוואה ריבועית (כאשר משווים את הביטוי ל-0).
השלמה לריבוע מתבצעת בשלבים הבאים:
לקיחת הביטוי {\displaystyle \ ax^{2}+bx} {\displaystyle \ ax^{2}+bx} והפיכתו לביטוי {\displaystyle \ \left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}} {\displaystyle \ \left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}}
החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}}
כלומר:
{\displaystyle \ ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}}
לחלופין, אפשר לבצע זו בצורה הבאה:
לקיחת הביטוי {\displaystyle \ ax^{2}+bx} {\displaystyle \ ax^{2}+bx} והפיכתו לביטוי {\displaystyle \ a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}} {\displaystyle \ a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}
החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}}
כלומר:
{\displaystyle \ ax^{2}+bx=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ ax^{2}+bx=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}}
באמצעות שיטה זו אפשר להוכיח שהפתרונות של משוואה ריבועית נתונים על ידי
{\displaystyle \ x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}} {\displaystyle \ x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}
הדמיה גאומטרית מונפשת של תהליך ההשלמה לריבוע.
completing the square.png
השלמה לריבוע היא טכניקה אלגברית לטיפול בביטוי מהצורה
{\displaystyle \ ax^{2}+bx+c} {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c}
הנקרא גם טרינום או משוואה ריבועית (כאשר משווים את הביטוי ל-0).
השלמה לריבוע מתבצעת בשלבים הבאים:
לקיחת הביטוי {\displaystyle \ ax^{2}+bx} {\displaystyle \ ax^{2}+bx} והפיכתו לביטוי {\displaystyle \ \left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}} {\displaystyle \ \left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}}
החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}}
כלומר:
{\displaystyle \ ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}}
לחלופין, אפשר לבצע זו בצורה הבאה:
לקיחת הביטוי {\displaystyle \ ax^{2}+bx} {\displaystyle \ ax^{2}+bx} והפיכתו לביטוי {\displaystyle \ a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}} {\displaystyle \ a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}
החסרת הערך שהוספנו, כדי שלא לשנות את ערכו של הביטוי. בדוגמה לעיל: {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ -{\frac {b^{2}}{4a}}}
כלומר:
{\displaystyle \ ax^{2}+bx=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}} {\displaystyle \ ax^{2}+bx=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}}
באמצעות שיטה זו אפשר להוכיח שהפתרונות של משוואה ריבועית נתונים על ידי
{\displaystyle \ x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}} {\displaystyle \ x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}
מינוס b, פלוס מינוס שורש b מינוס 4ac
חלקי 2a
חלקי 2a
אם הביטוי הוא
x^2+(a+b)x+ab
(כאשר המקדם של ה x^2 הוא 1) לדוגמה,
אז הטרינום הוא
(x+a)(x+b)
x^2+(a+b)x+ab
(כאשר המקדם של ה x^2 הוא 1) לדוגמה,
אז הטרינום הוא
(x+a)(x+b)
באותו הנושא: