6 תשובות
קוסינוס וסינוס זה משהו קשור לחישוב צלעות המשולש
סינוס זה כל שמתחיל כביכול ב'0'
קוסינוס זה גל סינוס שמתחיל באמצע שלו.
הכי קל לראות סרטון או תמונה
קוסינוס זה גל סינוס שמתחיל באמצע שלו.
הכי קל לראות סרטון או תמונה
פונקציות שמגדירות את היחס בין צלעות מסויימות לזווית מסויימת במשולש.
סינוס זה הניצב מול הזווית במשולש ישר זווית חלקי היתר
קוסינוס זה הניצב ליד הזווית במשולש ישר זווית חלקי היתר
קוסינוס זה הניצב ליד הזווית במשולש ישר זווית חלקי היתר
פונקציות טריגונומטריות.. משתמשים גם לחישובים במשולש וזה
הנה ההגדרות של סינוס וקוסינוס בכמה רמות של הכללה:
(לתיכון מספיק לדעת רק את ה2 הראשונות, השלישית היא להעשרה)
בהתחלה זה הוגדר כך:
במשולש ישר זווית, סינוס זווית חדה זה היחס בין הניצב שמול הזווית ליתר.
וקוסינוס זווית חדה זה היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר.
לאחר מכן, החליטו להכליל את המונח גם לזוויות לא של משולשים, מעבר למקרים בהם יש לכך משמעות גיאומטרית.
ואז אנו מציירים את מעגל היחידה(צריך לקרוא על מעגל היחידה אם את לא מכירה את המונח).
ופה אנחנו מסתכלים על כל נקודה במעגל היחידה בהצגה פולרית, כלומר לפי זווית ואורך.
ואז נגדיר את סינוס זווית כלשהי להיות ערך הוואי של נקודה במעגל הזה שערכי הציון שלה בשיטה הפולרית הם הזווית הזו ואורך 1.
וקוסינוס, עבור אותה זווית מוגדר להיות ערך האיקס של אותה הנקודה.
ועכשיו קיבלנו הכללה של המונח מקודם כאשר מתאפשרות גם זוויות שהן לא זוויות חדות במשולש ישר זווית כמו 90 ואפילו מינוס 1009 או 5 מיליון.. (לצורך הדוגמא)
(*העשרה*) אבל למתמטיקאים זה לא מספיק.
הרי למה לעצור בעולם הממשיים?
עולם המרוכבים, הרבה פעמים מאפשר לפתור בעיות מורכבות בצורה מאוד אלגנטית.
עכשיו נסתכל על נקודות במעגל היחידה בתור מספרים מרוכבים, שהרי להם 2 קורדינטות, הממשית והמרוכבת.
ואז משתמשים בנוסחאת אוילר (אי בחזקת פאי אי) ועוד 1 שווה 0.. ובחוקי חזקות. בשביל הנוסחה הכללית לכל טאטא שאי בחזקת אי טאטא שווה לנקודה במעגל היחידה שהזווית אליה היא טאטא.
ואז מהידע של השקילות בין יצוג של מספר מרוכב במעגל היחידה באמצעות זווית ובאמצעות ערכי איקס וואי (שכמו שאמרנו בהגדרה האחרונה הם הסינוס והקוסינוס) ובאמצעות טריק אלגברי קטן:
ומגיעים לשוויון שסינוס טאטא שווה ((אי בחזקת איי טאטא) מינוס (אי בחזקת מינוס איי טאטא)) חלקי 2.
וקוסינוס טאטא שווה ((אי בחזקת איי טאטא) פלוס (אי בחזקת מינוס איי טאטא)) חלקי 2 איי.
ההכללה האחרונה היא הכי חזקה ומאפשרת לעשות כל מיני דברים מעניינים (כמו למשל למצוא את הפיתרונות מעל המרוכבים של טאטא עבורם סינוס טאטא שווה 2. כאשר בשתי ההכללות הקודמות הדבר היה בלתי אפשרי)
אז אלה 3 הגדרות ב3 רמות של הכללה.
וזה תלוי בקונטקסט שאנחנו עובדים איתו, ולפעמים נוח לחיות בעולם רעיוני ספציפי יותר, ולפעמים נוח להסתכל על עולם רעיוני מופשט/כללי יותר ולעבוד איתו לפני שאנו "קורסים" שוב לעולם הפשוט ופיתרון לבעיה בלתי אפשרית לכאורה פתאום צץ משום מקום(מנקודת מבט של העולם הפשוט הזה) כמו קסם.
לא צריך להרתע מהדברים האלה ואין סיבה לראות בהכללות כאלה כמשהו לא חוקי. הכללות והגדרות של מונחים בצורה חדשה אלה דברים שעושים לצורך הנוחות כי כך יותר נוח להסתכל על הדברים. כי לפעמים הצורה בה ראינו את הדברים קודם פשוט מגבילה אותנו.
זה קצת כמו עם מספרים:
בהתחלה כששאלנו את עצמנו לראשונה מה זה מספר, התייחסנו רק למספרים הטיבעיים (אלה שילדים מבינים: 0, 1, 2, 3, ...)
לאחר מכן הכרנו גם את השליליים ולמדנו להתייחס גם אליהם.
ואז גם רציונליים (שברים), ואז הבנו בצורך של הגדרת קבוצה גדולה יותר - הישר הממשי, שהתברר שהוא גדול בהרבה.
לאחר מכן נחשפנו לרעיון של מספרים מרוכבים, שבמובן מסויים נותנים מימד נוסף למספרים הממשיים והם שלמים אלגברית(קשור לפולינומים). וזה נתן כלי נוסף, מאוד חזק, לארגז הכלים של המתמטיקאים.
(לתיכון מספיק לדעת רק את ה2 הראשונות, השלישית היא להעשרה)
בהתחלה זה הוגדר כך:
במשולש ישר זווית, סינוס זווית חדה זה היחס בין הניצב שמול הזווית ליתר.
וקוסינוס זווית חדה זה היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר.
לאחר מכן, החליטו להכליל את המונח גם לזוויות לא של משולשים, מעבר למקרים בהם יש לכך משמעות גיאומטרית.
ואז אנו מציירים את מעגל היחידה(צריך לקרוא על מעגל היחידה אם את לא מכירה את המונח).
ופה אנחנו מסתכלים על כל נקודה במעגל היחידה בהצגה פולרית, כלומר לפי זווית ואורך.
ואז נגדיר את סינוס זווית כלשהי להיות ערך הוואי של נקודה במעגל הזה שערכי הציון שלה בשיטה הפולרית הם הזווית הזו ואורך 1.
וקוסינוס, עבור אותה זווית מוגדר להיות ערך האיקס של אותה הנקודה.
ועכשיו קיבלנו הכללה של המונח מקודם כאשר מתאפשרות גם זוויות שהן לא זוויות חדות במשולש ישר זווית כמו 90 ואפילו מינוס 1009 או 5 מיליון.. (לצורך הדוגמא)
(*העשרה*) אבל למתמטיקאים זה לא מספיק.
הרי למה לעצור בעולם הממשיים?
עולם המרוכבים, הרבה פעמים מאפשר לפתור בעיות מורכבות בצורה מאוד אלגנטית.
עכשיו נסתכל על נקודות במעגל היחידה בתור מספרים מרוכבים, שהרי להם 2 קורדינטות, הממשית והמרוכבת.
ואז משתמשים בנוסחאת אוילר (אי בחזקת פאי אי) ועוד 1 שווה 0.. ובחוקי חזקות. בשביל הנוסחה הכללית לכל טאטא שאי בחזקת אי טאטא שווה לנקודה במעגל היחידה שהזווית אליה היא טאטא.
ואז מהידע של השקילות בין יצוג של מספר מרוכב במעגל היחידה באמצעות זווית ובאמצעות ערכי איקס וואי (שכמו שאמרנו בהגדרה האחרונה הם הסינוס והקוסינוס) ובאמצעות טריק אלגברי קטן:
ומגיעים לשוויון שסינוס טאטא שווה ((אי בחזקת איי טאטא) מינוס (אי בחזקת מינוס איי טאטא)) חלקי 2.
וקוסינוס טאטא שווה ((אי בחזקת איי טאטא) פלוס (אי בחזקת מינוס איי טאטא)) חלקי 2 איי.
ההכללה האחרונה היא הכי חזקה ומאפשרת לעשות כל מיני דברים מעניינים (כמו למשל למצוא את הפיתרונות מעל המרוכבים של טאטא עבורם סינוס טאטא שווה 2. כאשר בשתי ההכללות הקודמות הדבר היה בלתי אפשרי)
אז אלה 3 הגדרות ב3 רמות של הכללה.
וזה תלוי בקונטקסט שאנחנו עובדים איתו, ולפעמים נוח לחיות בעולם רעיוני ספציפי יותר, ולפעמים נוח להסתכל על עולם רעיוני מופשט/כללי יותר ולעבוד איתו לפני שאנו "קורסים" שוב לעולם הפשוט ופיתרון לבעיה בלתי אפשרית לכאורה פתאום צץ משום מקום(מנקודת מבט של העולם הפשוט הזה) כמו קסם.
לא צריך להרתע מהדברים האלה ואין סיבה לראות בהכללות כאלה כמשהו לא חוקי. הכללות והגדרות של מונחים בצורה חדשה אלה דברים שעושים לצורך הנוחות כי כך יותר נוח להסתכל על הדברים. כי לפעמים הצורה בה ראינו את הדברים קודם פשוט מגבילה אותנו.
זה קצת כמו עם מספרים:
בהתחלה כששאלנו את עצמנו לראשונה מה זה מספר, התייחסנו רק למספרים הטיבעיים (אלה שילדים מבינים: 0, 1, 2, 3, ...)
לאחר מכן הכרנו גם את השליליים ולמדנו להתייחס גם אליהם.
ואז גם רציונליים (שברים), ואז הבנו בצורך של הגדרת קבוצה גדולה יותר - הישר הממשי, שהתברר שהוא גדול בהרבה.
לאחר מכן נחשפנו לרעיון של מספרים מרוכבים, שבמובן מסויים נותנים מימד נוסף למספרים הממשיים והם שלמים אלגברית(קשור לפולינומים). וזה נתן כלי נוסף, מאוד חזק, לארגז הכלים של המתמטיקאים.
באותו הנושא: