מותר לי להיכנס לבית הכנסת בכיפור אם אני במחזור?

מותר אין שוה בעיה רק יש נוהגים לא להסתכל על ספר תורה בזמן כזה

כן, מותר תמיד להיכנס, גם במחזור.
(מותר אפילו לנשק ספר תורה (כי תשמישי קדושה לא מקבלים טומאה)).

מותר לבית כנסת אבל לא לשירותים של הבית כנסת.