עזרה במתמטיקה כיתה יב 5 יח"ל (וקטור אלגברי)

משוואה כללית של מישור יכולה להיות מתוארת ע"י קומבינציה ליניארית של שני וקטורים+נקודה ידועה:

m=a(u1,u2,u3)+b(v1,v2,v3)+(w1,w2,w3)

כאשר u,v אלו כיווני וקטורים, וw נקודה במרחב.

נתחיל מכיוון הוקטור הראשון.
בגלל שהמישור מקביל לוקטור מסוים, משמע ניתן להזיז את הוקטור ככה שהוא יתלכד עם המישור. במצב כזה, הוקטור הוא אחד מאלו שמגדירים את המישור, כלומר נוכל להשתמש בכיוון הוקטור הזה בתור u.

u=(1,0,-1).

עכשיו נרצה למצוא את הוקטור השני, שהרי הוא החיתוך של שני המישורים.
נצטרך למעשה לפתור 3 משוואות עם 4 נעלמים, מקבל משם נעלם חופשי אחד שאיתו נבטא את הוקטור של החיתוך.

3t-s+2=m
2t=2m+n
s=n

קיבלנו ישירות s=n, נציב את זה במשוואות האחרות:

3t-n+2=m
2t=2m+n

נמשיך אלגברית:

6t=2n+2m-4
6t=6m+3n

4m+n+4=0

n=s=-4(m+1).

נציב למציאת t:

2t=2m-4(m+1)

2t=-2m-4

t=-(m+2).

אז קיבלנו בעצם שעבור מישור x למשל אם נציב את המקרה הפרטי הזה:

x=m(1,2,0)-4(m+1)*(0,1,1).

x=m(1,2,0)+m(0,-4,-4)+(0,-4,-4)

x=m(1,-2,-4)+(0,-4,-4)

אגב החישוב של t יכול לשמש לנו בתור חישוב בקרה, בשביל לוודא שצדקנו עם מישור x:

x=-(m+2)*(3,2,0)-4(m+1)*(-1,0,1)+(2,0,0)

x=m*(-3,-2,0)+m*(4,0,-4)+(-6,-4,0)+(4,0,-4)+(2,0,0)

x=m(1,-2,-4)+(0,-4,-4), שזה מוודא אותנו.


הקיצור, מצאנו v=(1,-2,-4) וגם נקודה שבוודאות על המישור שהיא (4-,4-,0).
כלומר, המשיור שלנו הוא:


p=a(1,0,-1)+b(1,-2,-4)+(0,-4,-4)

כמובן שיש אינסוף דרכים לבטא את p, כי אפשר לשחק עם גדלי הוקטורים ועם נקודת הרפרנס, אבל זו דרך אחת.