ראשי עיר ונשיא לא קשורים לימין ושמאל נכון?

ידוע במי הם תומכים.

נשיא לא אמורים לדעת במי הוא תומך
ראש ממשלה כן יודעים

נשיא בעיקרון לא למרות שהוא גם נוטה פוליטית פשוט התפקיד שלו פשוט סמל כללי של המדינה סתם תפקיד בתכל'ס, אבל הוא נבחר על נציגי ציבור ככה שאפשר לשייך אותו לציבור מסויים.
ועיר זה כמו בממשלה רק בקטן יש ימין ושמאל קואליציה ואופוזיטציה

נשיא פחות
ראשי עיר כן הם משתייכים למפלגות גם

הם בהכרח קשורים.
ראשי עיר נבחרים בבחירות ישירות, עומדים בראשות מפלגות מקומיות (שלפעמים משתייכות למפלגות לאומיות) וצריכים להקים קואליציות במועצת העיר. הם פוליטיקאים לכל דבר ועניין.
נשיא המדינה הוא כביכול דמות סמלית וניטרלית, אבל בסופו של דבר הוא נבחר ע"י חברי הכנסת, אז אי אפשר להתעלם מההשפעות של זה על הניטרליות שלו. כמו כן, למרות שבמקור משרת הנשיא הייתה מיועדת לאזרחי מופת (מדענים, פרופסורים, אמנים) לאחרונה רוב הנשיאים הם פשוט פוליטיקאים (הרצוג היה יו"ר האופוזיציה, ריבלין היה יו"ר הכנסת, קצב היה שר).