יכולה להיות נקודת פיתול בקצוות?

כן, למה לא?

ממה שאני זוכרת יכול להיות, כמו שנקודת קיצון מוגדרת נקודה שעד אליה הפונקציה עולה וממנה יורדת ועדין יש קיצון קצה, ככה גם פיתול

פיתול שקול בהגדרתו לקיצון מקומי.
קיצון קצה מתייחס לערך מסוים של הפונקציה חעומת האחרים שמתייחסים להתנהגות של הפונקציה...

לא
נראלי חשבת ככה כי יש נקודות קיצון בקצה תחום הגדרה אבל זה שונה, אני אסביר


נקודת קיצון מוגדרת כהנקודה הכי נמוכה/ גבוהה בסביבה שלה ולכן בקצה ת"ה הפונקציה חייבת או לעלות עד אליה או לרדת עד אליה ככה שהיא באמת הכי גבוהה/נמוכה בסביבה שלה

נקודת פיתול מוגדרת כהנקודה בה הפונקציה עוברת מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה
עד קצה תחום ההגדרה לפונקציה יש קעירות כלפי מעלה/ מטה, אבל בקצה התחום היא לא עוברת מכלפי מעלה לכלפי מטה ככה שאין פיתול

כן, ההגדרה של נקודת פיתול היא נקודה שבה הנגזרת השנייה שווה ל0, וזה אכן יכול לקרות בקצוות

^לא נכון, ההגדרה של פיצול היא נקודה בה הנגזרת השנייה מתאפס והקיעור עובר מכפלי מעלה לכלפי מטה או להפך

^זה לא הפיתול עובר מכלפי מעלה לכלפי מעטה, זה הקיעור של הפונקציה, וזאת תופעה שקורית בגלל שיש לנגזרת מינימום או מקסימום, וזה קורה כאשר יש לנגזרת השנייה נקודת פיתול. בקיצור פיתול זה כאשר הנגזרת השנייה מתאפסת, וזה יכול לקרות גם בקצוות

אבל מה אם הנגזרת השנייה מתאפס אבל לא משנה סימן? אז אין פיתול, פשוט כך פונקציה רנדומלית שזה קורה אצלה(לא בנגזרת אלא בפונקציה עצמה) ותחשב את הפונקציה הקדומה פעמיים ואז הנה נקודה בה הנגזרת השנייה מתאפס אבל לא משנה את סימנה

^היא לא חייבת לשנות כיוון קעירות, כל עוד הנגזרת השנייה מתאפסת זה נקרא נקודת פיתול, זאת נקודה בה השיפוע (הנגזרת הראשונה) מקסימלית או מינימלית, זה פיתול. וכמו שיכולה להיות נקודת מקסימום או מינימום בקצוות של הפונקציה בגלל שהשיפוע שם הוא 0, כך גם יכול להיות פיתול בקצוות בגלל שהשיפוע של הנגזרת הוא 0

^לא נכון לפי הגדרת נקודת פיתול, לא יודע מה לימדו אותך בבית ספר אבל זה היה לא נכון

כפרות אני אסכם את זה:

1) נגזרת לא קיימת בנקודה אם אין לה סביבת נקודות מצידה הימני/השמאלי. כלומר, אין נגזרת בנקודות הקצה.

2) נקודת פיתול מראה על שינוי בין קעירות לקמירות של פונקציה, זה שקול לאמירה f''(x0)=0 (כאשר f גזירה פעמיים בנקודה).

3) אז התשובה לשאלה המקורית היא שלא, כי הפונקציה לא גזירה בנקודות הקצה שלה, מכאן שלא יכולה לקיים את התנאי ב(2).

^ אני מת לא פרשת בסוף?

בוקר טויב, התשובה הקצרה היא לא.
נקודת פיתול מוגדרת להיות נקודה בפונקציה בה מתקיים שינוי מקעירות לקמירות, או להפך.

נקודת קצה->הפונרציה מתחילה/מסתיימת בה -> שינוי של קעירות-קמירות שכזה לא אפשרי -> לא עומדת בתנאי ההגדרה של פיתול -> אינה פיתול.