אם פולינום שווה לנגזרת שלו זה אומר שהפולינום זה פולינום האפס?

שואל השאלה:
תשמע דרך יותר נחמדה
p'(x)=p(x) נפעיל נגזרת על 2 הצדדים נקבל:
p''(x)=p'(x) נפעיל שוב נגזרת נקבל
p'''(x)=p''(x) ומכיוון שזו הקבוצה של הפולינןמים ממעלה שנייה לכל היותר אזי
p''"(x)=0
ולכן גם p(x)=0

נו יופי, ואז אפשר להכליל את זה עבור פולינום מסדר n מסוים.
בכל מקרה השיטה שלך דורשת לעשות n+1 נגזרות ושלי רק אחת :)

שואל השאלה:
אה שכחתי לציין שזה מדובר על קבוצת הפולניומים ממעלה שנייה לכל היותר, חוץ מזה ניתן להוכיח עם שלי באינדוקציה

כן, בואי נוכיח:

נגדיר פולינום כללי מסדר n:

p(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n

נגזור אותו:

p'(x)=a1+...+n*anx^(n-1)

אנחנו רואים שבגזירה אז מעלת הפולינום יורדת לפי מספר הגזירות.
בקיצור, פולינום לא יכול להיות שווה לנגזרתו כל עוד הסדר שלו קטן במהלך הגזירה.
לכן, הפולינום היחיד שסדרו לא קטן ויכול לקיים את התנאי הוא פולינום האפס.

במקרה שלנו, באמת מתקיים p'(x)=0'=0=p(x) אז יופי לנו.