9 תשובות
f(x) > g(x)
שואל השאלה:
זה הכל? או שאני צריכה להציב מנקודות שמצאתי?
זה הכל? או שאני צריכה להציב מנקודות שמצאתי?
את עושה את מה שרשמתי למעלה ומקבלת את ערכי ה-x
שואל השאלה:
אם יוצא לי מצב שהייתי צריכה נוסחה ריבועית לזה ויצאו לי שני תוצאות חיוביות 1 ו-3 אז לכתוב x>1?
אם יוצא לי מצב שהייתי צריכה נוסחה ריבועית לזה ויצאו לי שני תוצאות חיוביות 1 ו-3 אז לכתוב x>1?
יכול להיות מצב של שתי תשובות נכונות, אלא אם יש נתון בשאלה שמונע את זה. למשל אומרים לך שמשהו לא יכול להיות גדול מ-3, אז התשובה תהיה x>1.
שואל השאלה:
אין נתון שמונע אז אני ארשום x>3
אין נתון שמונע אז אני ארשום x>3
כן, מצוין
קודם כל תביני מה זה x ומה זה f(x).. ומה זה g(x).
x הוא המשתנה שמכניסים לפונקציה.
f(x) וגם g(x) הוא מה הפונקציה החזירה לך.
בעצם הy בשני המקרים.
לכן כשמבקשים כזה דבר, נסי להבין מי הן שתי הפונקציות.. ומתי התנאי הזה יקרה.
לפי ניסוח השאלה את מתעסקת באי שוויונים או משוואות אי רציונליות (כמו עם ערכים מוחלטים, שורשים וכדומה)
בואי ניתן דוגמה חיה כדי שתביני מה קורה.
אצלם לך מסך על שתי פונקציות.
(זה הלינק למטה..)
נגיד שהפונקציה האדומה היא g(x)
נגיד שהפונקציה הכחולה היא f(x)
2^g(x) = (5x + 6)
f(x) = 4(x-3)^2
אם נפתח סוגריים לכל אחת מהפונקציות
נקבל באדומה:
g(x) = 25x^2+60x+36
נקבל בכחולה:
f(x) = 4x^2-24x+36
אז מה זה אומר בעצם אם נגיד שg(x) גדול מf(x)? (סטיפס לא נותנים לעשות סימן אי שוויון).
בפשטות של הצבה:
25x^2+60x+36 גדול מ 4x^2-24x+36
עכשיו אין מה לפחד מהביטוי הזה. כמו כל ביטוי של פונקציות ממעלה שנייה (עם איקס בריבוע) מסדרים הכל בצד אחד. איזה צד שתחליטי. עדיף שהx בריבוע לאחר כינוס איברים יהיה בפלוס.
אז נסדר:
21x^2+84x גדול מ0
ונארגן את המשוואה כך שנהפוך את האיברים שלנו מחיבור וחיסור לכפל, זאת על ידי הוצאת גורף משותף במקרה הזה.
(יהיו מקרים שאת צריכה טרינום או נוסחת שורשים, או אפילו מעברים פשוטים שת כפל מקוצר).
נקבל:
21x(x+4) גדול מ0
אוקיי, כאן כבר הגענו לשלב שאנחנו צריכים להסביר קצת מה קורה פה.
כשאנחנו משווים שתי פונקציות פרבוליות, יכולים לקרות כמה דברים.
1. הפונקציות חותכות זו את זו פעם אחת.
למשל אם הן ישיקו זו לזו בנקודת המקסימום והמינימום.
2. הפונקציות חותכות זו את זו פעמיים.
למשל כשאחת עם נקודת מינימום והשניה עם מקסימום אך לא בהשקה... כשהמקסימום גבוה מהמינימום.
3. הפונקציות אינן חותכות זו את זו.
שתיהן מרחפות כשאחת בוכה ואחת צוחקת (שוב מקסימום ומינימום בהתאמה).. אך הן לא נוגעות זו בזו. המינימום מעל המקסימום לגמרי.
אם תסתכלי בלינק תראי בבירור שיש רגע מסויים שהפונקציות ממש נחתכות. שזה בעצם הנקודות שאנחהו מחפשים. כי השווינו שתי פונקציות, אז דרך נקודות האיפוס הללו אנחנו רואים את החיתוכים.
(בדיוק כמו שכשיש לך פונקציה אחת ממעלה שנייה ואת משווה אותה לאפס, את תראי נקודות חיתוך עם ציר x.. כי ציר x זה בעצם y=0).
אז יופי, מה שמצאנו זה נקודות החיתוך. מה הקטע של אי השוויון?
ברגע שמצאת את נקודות החיתוך, את יכולה לדעת מה קורה אחריהן או לפניהן.
נקודות החיתוך הן
x = 0
x = -4
במקרה הזה מה קורה בתחום מתחת לאיקסים ששווים למינוס 4? נגיד מינוס 5 או מינוס 100 וכיו"ב..
מה קורה לאיקסים שבין מינוס 4 ל0.. למשל מינוס 3 או מינוס 1.
ומה קורה לאיקסים שמעל 0.. למשל 3, 10 או 100.
אז תציירי ציר ותסמני עליו שני קווים.
0 וגם 4-.
עכשיו נציב לדוגמה מספר הרבה יותר גדול מ0.. למשל 1,000..
ונראה מה קורה:
(1,000+4)1,000*21
אנו רואים שהמספר הוא הרבה מעל 0.. ולכן נתחיל את ציור ה"נחש" מעל הציר שציירנו... (מוסיף עוד לינק נפרד שתצטרכי להעתיק)
https://ibb.co/5xxbfqp
הנחש יחתוך את נקודת ה0 מתחת לציר.. ויעלה למעלה שוב בחיתוך עם מינוס 4.
כלומר, בסוף זה ייראה כמו סוג של נחש שעובר מעל ומתחת לציר.. ובתכלס, זה גם נראה כמו פרבולה.
את הפעולה הזאת עושים בכל פעם שנצטרך לבדוק מה קורה מעל ומתחת נקודות החיתוך. ולא משנה כמה נקודות חיתוך יש לנו.
---------------------------------------------------------
*****חשוב לציין*****
שאם יש לנו נקודות חיתוך שחוזרות על עצמן, הנחש לא יחתוך מעל או מתחת, אלא הוא ישיק לנקודת האיפוס/חיתוך.
למשל לדוגמה בפונקציה כמו:
y = x^2+4x+4
אם היינו שואלים "מתי הפונקציה גדולה מ0?"
היינו מקבלים:
x^2-4x+4 גדול מ0
והופכים את זה לפי כפל מקוצר ל:
2^(x-4) גדול מ0
שזה בעצם:
x-4)(x-4)) גדול מ0.
ויש כאן "כביכול" שתי נקודות איפוס, אך שתיהן בx=4.
לכן כשנצייר ציר ועליו נרצה לסמן את "נקודות" האיפוס, אי אפשר לסמן יותר מאחת.
מה שזה אומר זה שהנחש *לא* יחצה את נקודת האיפוס וירד/יעלה מתחת לציר, אלא הוא ישיק לנקודת האיפוס ויחזור לאותו מקום (מעל או מתחת לציר).
לינק להמחשה פה:
https://ibb.co/689vmjh
כלומר ערך הפונקציה לעולם לא יכול להיות שלילי (מתחת לציר הx) כי הפונקציה הזאת היא בריבוע.. ולא משנה מה יהיה בסוגריים.. הבריבוע תמיד יגרום לערך הפונקציה להיות חיובי.
---------------------------------------------------------
אם כך נעשה סדר כשמקבלים אי שוויונות:
1. מסדרים הכל בצד אחד כשבצד השני יש אפס.
2. מוצאים נקודות איפוס על ידי גורם משותף, כפל מקוצר, טרינום או נוסחת שורשים.
3. מציבים בפונקציה הסופית (שביטוייה בכפל זה עם זה) מספר מעל נקודת האיפוס הכי גדולה.
אם המספר חיובי, מתחילים את הנחש מעל ציר הx.
אם המספר שלילי, מתחילים את הנחש מתחת לציר הx.
וכמובן, עוברים דרך כל הנקודות בצורה "נחשית"/מעוקלת.
המקרה יוצא הדופן הוא בכל פעם שאתם מקבלים ביטוי שנקודת האיפוס שלו חוזרת על עצמה במהלך התרגיל (כמו בדוגמה קודם).. ושם ורק שם הנחש לא יחצה את הציר, אלא ישיק אליו.
זה יכול להיות ביטוי כמו x-4 חלקי x-4 זה לא חייב להיות רק "בריבוע".
4. בודקים מה שאלו.
אם רצו את ערכי הפונקציה שגדולים מ-0... לוקחים את השטחים שמעל ציר הx.
אם רצו את ערכי הפונקציה שקטנים מ-0... לוקחים את השטחים שמתחת לציר הx.
אם רצו גם גדול ושווה, או גם קטן ושווה.. פשוט כוללים את נקודות האיפוס בסוף התשובה.
למשל במקרה של הדוגמה שהבאתי פה הראשונה.. כשנקודות האיפוס הן 0 ו4-...
רצו את השטח שקטן מ0, ולכן סימנתי בקשקוש חום את השטח ש*מתחת* לציר.. והוא תחום כ:
x קטן מ0.
x גדול מ4-.
אפשר לכתוב את זה בשורה אחת גם כשאיקס בין ה0 למינוס 4, אבל סטיפס לא נותנים לכתוב מספרים ואותיות כמו נורמליים.
סיימתם את התרגיל.
סוף.
x הוא המשתנה שמכניסים לפונקציה.
f(x) וגם g(x) הוא מה הפונקציה החזירה לך.
בעצם הy בשני המקרים.
לכן כשמבקשים כזה דבר, נסי להבין מי הן שתי הפונקציות.. ומתי התנאי הזה יקרה.
לפי ניסוח השאלה את מתעסקת באי שוויונים או משוואות אי רציונליות (כמו עם ערכים מוחלטים, שורשים וכדומה)
בואי ניתן דוגמה חיה כדי שתביני מה קורה.
אצלם לך מסך על שתי פונקציות.
(זה הלינק למטה..)
נגיד שהפונקציה האדומה היא g(x)
נגיד שהפונקציה הכחולה היא f(x)
2^g(x) = (5x + 6)
f(x) = 4(x-3)^2
אם נפתח סוגריים לכל אחת מהפונקציות
נקבל באדומה:
g(x) = 25x^2+60x+36
נקבל בכחולה:
f(x) = 4x^2-24x+36
אז מה זה אומר בעצם אם נגיד שg(x) גדול מf(x)? (סטיפס לא נותנים לעשות סימן אי שוויון).
בפשטות של הצבה:
25x^2+60x+36 גדול מ 4x^2-24x+36
עכשיו אין מה לפחד מהביטוי הזה. כמו כל ביטוי של פונקציות ממעלה שנייה (עם איקס בריבוע) מסדרים הכל בצד אחד. איזה צד שתחליטי. עדיף שהx בריבוע לאחר כינוס איברים יהיה בפלוס.
אז נסדר:
21x^2+84x גדול מ0
ונארגן את המשוואה כך שנהפוך את האיברים שלנו מחיבור וחיסור לכפל, זאת על ידי הוצאת גורף משותף במקרה הזה.
(יהיו מקרים שאת צריכה טרינום או נוסחת שורשים, או אפילו מעברים פשוטים שת כפל מקוצר).
נקבל:
21x(x+4) גדול מ0
אוקיי, כאן כבר הגענו לשלב שאנחנו צריכים להסביר קצת מה קורה פה.
כשאנחנו משווים שתי פונקציות פרבוליות, יכולים לקרות כמה דברים.
1. הפונקציות חותכות זו את זו פעם אחת.
למשל אם הן ישיקו זו לזו בנקודת המקסימום והמינימום.
2. הפונקציות חותכות זו את זו פעמיים.
למשל כשאחת עם נקודת מינימום והשניה עם מקסימום אך לא בהשקה... כשהמקסימום גבוה מהמינימום.
3. הפונקציות אינן חותכות זו את זו.
שתיהן מרחפות כשאחת בוכה ואחת צוחקת (שוב מקסימום ומינימום בהתאמה).. אך הן לא נוגעות זו בזו. המינימום מעל המקסימום לגמרי.
אם תסתכלי בלינק תראי בבירור שיש רגע מסויים שהפונקציות ממש נחתכות. שזה בעצם הנקודות שאנחהו מחפשים. כי השווינו שתי פונקציות, אז דרך נקודות האיפוס הללו אנחנו רואים את החיתוכים.
(בדיוק כמו שכשיש לך פונקציה אחת ממעלה שנייה ואת משווה אותה לאפס, את תראי נקודות חיתוך עם ציר x.. כי ציר x זה בעצם y=0).
אז יופי, מה שמצאנו זה נקודות החיתוך. מה הקטע של אי השוויון?
ברגע שמצאת את נקודות החיתוך, את יכולה לדעת מה קורה אחריהן או לפניהן.
נקודות החיתוך הן
x = 0
x = -4
במקרה הזה מה קורה בתחום מתחת לאיקסים ששווים למינוס 4? נגיד מינוס 5 או מינוס 100 וכיו"ב..
מה קורה לאיקסים שבין מינוס 4 ל0.. למשל מינוס 3 או מינוס 1.
ומה קורה לאיקסים שמעל 0.. למשל 3, 10 או 100.
אז תציירי ציר ותסמני עליו שני קווים.
0 וגם 4-.
עכשיו נציב לדוגמה מספר הרבה יותר גדול מ0.. למשל 1,000..
ונראה מה קורה:
(1,000+4)1,000*21
אנו רואים שהמספר הוא הרבה מעל 0.. ולכן נתחיל את ציור ה"נחש" מעל הציר שציירנו... (מוסיף עוד לינק נפרד שתצטרכי להעתיק)
https://ibb.co/5xxbfqp
הנחש יחתוך את נקודת ה0 מתחת לציר.. ויעלה למעלה שוב בחיתוך עם מינוס 4.
כלומר, בסוף זה ייראה כמו סוג של נחש שעובר מעל ומתחת לציר.. ובתכלס, זה גם נראה כמו פרבולה.
את הפעולה הזאת עושים בכל פעם שנצטרך לבדוק מה קורה מעל ומתחת נקודות החיתוך. ולא משנה כמה נקודות חיתוך יש לנו.
---------------------------------------------------------
*****חשוב לציין*****
שאם יש לנו נקודות חיתוך שחוזרות על עצמן, הנחש לא יחתוך מעל או מתחת, אלא הוא ישיק לנקודת האיפוס/חיתוך.
למשל לדוגמה בפונקציה כמו:
y = x^2+4x+4
אם היינו שואלים "מתי הפונקציה גדולה מ0?"
היינו מקבלים:
x^2-4x+4 גדול מ0
והופכים את זה לפי כפל מקוצר ל:
2^(x-4) גדול מ0
שזה בעצם:
x-4)(x-4)) גדול מ0.
ויש כאן "כביכול" שתי נקודות איפוס, אך שתיהן בx=4.
לכן כשנצייר ציר ועליו נרצה לסמן את "נקודות" האיפוס, אי אפשר לסמן יותר מאחת.
מה שזה אומר זה שהנחש *לא* יחצה את נקודת האיפוס וירד/יעלה מתחת לציר, אלא הוא ישיק לנקודת האיפוס ויחזור לאותו מקום (מעל או מתחת לציר).
לינק להמחשה פה:
https://ibb.co/689vmjh
כלומר ערך הפונקציה לעולם לא יכול להיות שלילי (מתחת לציר הx) כי הפונקציה הזאת היא בריבוע.. ולא משנה מה יהיה בסוגריים.. הבריבוע תמיד יגרום לערך הפונקציה להיות חיובי.
---------------------------------------------------------
אם כך נעשה סדר כשמקבלים אי שוויונות:
1. מסדרים הכל בצד אחד כשבצד השני יש אפס.
2. מוצאים נקודות איפוס על ידי גורם משותף, כפל מקוצר, טרינום או נוסחת שורשים.
3. מציבים בפונקציה הסופית (שביטוייה בכפל זה עם זה) מספר מעל נקודת האיפוס הכי גדולה.
אם המספר חיובי, מתחילים את הנחש מעל ציר הx.
אם המספר שלילי, מתחילים את הנחש מתחת לציר הx.
וכמובן, עוברים דרך כל הנקודות בצורה "נחשית"/מעוקלת.
המקרה יוצא הדופן הוא בכל פעם שאתם מקבלים ביטוי שנקודת האיפוס שלו חוזרת על עצמה במהלך התרגיל (כמו בדוגמה קודם).. ושם ורק שם הנחש לא יחצה את הציר, אלא ישיק אליו.
זה יכול להיות ביטוי כמו x-4 חלקי x-4 זה לא חייב להיות רק "בריבוע".
4. בודקים מה שאלו.
אם רצו את ערכי הפונקציה שגדולים מ-0... לוקחים את השטחים שמעל ציר הx.
אם רצו את ערכי הפונקציה שקטנים מ-0... לוקחים את השטחים שמתחת לציר הx.
אם רצו גם גדול ושווה, או גם קטן ושווה.. פשוט כוללים את נקודות האיפוס בסוף התשובה.
למשל במקרה של הדוגמה שהבאתי פה הראשונה.. כשנקודות האיפוס הן 0 ו4-...
רצו את השטח שקטן מ0, ולכן סימנתי בקשקוש חום את השטח ש*מתחת* לציר.. והוא תחום כ:
x קטן מ0.
x גדול מ4-.
אפשר לכתוב את זה בשורה אחת גם כשאיקס בין ה0 למינוס 4, אבל סטיפס לא נותנים לכתוב מספרים ואותיות כמו נורמליים.
סיימתם את התרגיל.
סוף.
קישורים מצורפים:
מתנצל מראש על הכתיבה המסורבלת עם "גדול מ..." ו..." קטן מ....".
המתכנתים של סטיפס לא חכמים במיוחד. או שהתקמצנו בביטים.
המתכנתים של סטיפס לא חכמים במיוחד. או שהתקמצנו בביטים.
באותו הנושא: