איך יודעים את נקודות האלה של הפרבולה?

שואל השאלה:
החיתוך**

עם ציר ה x משווים את ה y ל 0 כלומר את הפונקצייה
ועם ציר ה y משווים את ה x ל 0 כלומר מציבים בכל מקום שאתה רואה x בפונקצייה 0

בציר הx הy הופך לאפס ולהפך.
אחרכך הופכים את זה למשוואה בנעלם אחד, מוזיזים את המספר שלפני האיקס להתחלה, ומחלקים אותה במה שאחרי השווה.
אם יצא מינוס זה בצד השמאלי, ואם זה מספר חיובי אז בצד הימני.

שואל השאלה:
יש לי את הפונקציה y=(x-3)^2-1 ואומרים לי למצוא את שתי נקודות האפס של הפרבולה , איך עושים את זה

בשביל למצוא את x
את מציבה במשוואה במקום y = 0 ופותרת את המשוואה


בשביל למצוא y
את מציבה במשוואה במקום x = 0 ופותרת את המשוואה

x=3
x=-3

***סיכום מילולי והבנתי של כל נושא משוואות ישר/פונקציות קוויות/פונקציות ליניאריות***

הדרך הכי טובה להסתכל על חיתוך של ישר עם הצירים x ו-y זה בעצם להבין את הדבר הבא:

מערכת הצירים מורכבת משני קווים אנכיים.
ציר x הוא הציר האופקי.
ציר y הוא הציר האנכי.
מכיוון שלכל קו בעולם יש "תעודת זהות", ולמעשה יש לו "טביעת אצבע", גם לצירים יש.
אם מתייחסים לציר x בתור הישר y=0,
ולציר y מתייחסים בתור הישר x=0,
אז אנחנו בעצם תמיד יכולים להגיד שאם ישר כלשהו מסוג
y=mx+b חותך את אחד הצירים או את שניהם, הוא תמיד חותך ישר שיש לו "שם".
כלומר, זה לא סתם שמציבים באופן אקראי את x=0 ו-y=0, זה מכיוון שאלו ה"שמות" של הצירים x ו-y ב"תעודת הזהות".

****חשוב לציין****
y=mx+b נקרא גם y=mx+n, או y=ax+b או y=ax+n. תלוי איך קוראים לזה אצלכם. זה שונה בכל מקום, אך הכוונה זהה. m או a מייצגים שיפוע. b או n מייצגים את החיתוך עם ציר y.

אז...........
- אם הישר שלנו חותך את ציר x, אז בעצם פותרים מערכת של 2 משוואות כשהישר השני הוא y=0, ולכן עושים הצבה של y=0 במשוואת הישר, מבודדים x ומוצאים את ערך ה-x כש y=0.

לכן תמיד נקודת החיתוך עם ציר x תראה כך:
(x,0 כלשהו).


- ואם הישר שלנו חותך את ציר y, אז בעצם פותרים מערכת של 2 משוואות כשהישר השני הוא x=0, ולכן עושים הצבה של x=0 במשוואת הישר, וישר מקבלים את ערך ה-y.
נשים לב שזו ההצבה הכי קלה, כי כשמשווים את x ל-0 בעצם מקבלים את ערך הb או ה-n שבמשוואה y=mx+b / y=mx+n.

לכן תמיד נקודת החיתוך עם ציר y תראה כך:
(b מהמשוואה, 0) או (n מהמשוואה, 0)

דוגמה:
הישר y=3x+6.

חיתוך עם ציר y כש(x=0):
כאן בעצם פותרים שתי משוואות: y=3x+6 ו- x=0
מציבים את x=0 במשוואה y=3x+6, ורואים שערך ה-y הוא בעצם הb שלנו.

לכן הנקודה היא:
(0,6)

חיתוך עם ציר x כש(y=0):

כאן בעצם פותרים שתי משוואות: y=3x+6 ו- y=0
מציבים את y=0 במשוואה y=3x+6, ורואים שערך ה-x יתקבל לאחר בידוד ה-x.
3x+6=0. נעביר את 6 לצד ימין, ונקבל:
3x=-6. נחלק את המשוואה ב-3 ונקבל:
x=-2.

לכן הנקודה היא:
(0, 2-)

דבר אחרון, כשמקבלים משוואת ישר שאיננו יודעים איך לצייר את הגרף שלה, הדרך הכי טובה היא בעצם למצוא שתי נקודות שמתקיימות במשוואה, ומכיוון שהכי קל להציב אפסים, כך אנחנו בעצם תמיד בודקים היכן הישר חותך את הצירים, או את אחד מהם.

מתי יש לנו מצבים של חיתוך רק עם ציר אחד?
כשיש משוואה מסוג:

- מספר = y
במצב כזה השיפוע הוא 0. (אסור להגיד שאין שיפוע. זה לא נכון)

- מספר = x
במצב כזה *אין* שיפוע. זה בעצם המצב היחיד בעולם הפונקציות הליניאריות/קוויות שאין שיפוע.

למי שלא מבין את המושג "שיפוע", נסביר גם את זה.
תחשבו על "שיפוע" כסוג של "אחיזה עם הרצפה".

מכיוון שישרים שהם מסוג מספר=y הם ישרים שהם תמיד תמיד אופקיים (מקבילים לציר x) והתנועה במערכת צירים רגילה היא משמאל לימין, זה כאילו אנחנו יכולים לנוע בהליכה על הישר שלנו, ולכן אומרים שהשיפוע הוא 0, כלומר אין עליה (שיפוע חיובי) או ירידה (שיפוע שלילי). לא משנה איך נזוז על הישר שלנו, ימין או שמאל, תמיד ערך ה-y לא ישתנה.
לכן זה מוגדר כ... מספר=y.

כמובן, אם הגרף שלנו עולה, זה אומר שהתנועה משמאל לימין היא בעלייה,
ואם הגרף שלנו יורד, זה אומר שהתנועה משמאל לימין היא בירידה.

בנוסף, מכיוון שישרים מסוג מספר=x הם ישרים שהם תמיד תמיד אנכיים, זה אומר שאי אפשר לנוע עליהם משמאל לימין. כלומר, אם ננסה "ללכת" עליהם, אנחנו בעצם ניפול. מדובר בקו אנכי... וזה כמו לדמיין "קפיצה ממגדל". לכן הוא בעצם מוגדר כ מספר=x, כי לא משנה איך נזוז עליו, ערך ה-x לא ישתנה.

אפשר גם להוכיח מתמטית שאין שיפוע, בכך ששיפוע מוגדר להיות בנוסחה:
(x2-x1)/(y2-y1)=m
ובמצב כזה אנחנו מקבלים "משהו" חלקי "0", ומכיוון שאסור לחלק ב-0 במתמטיקה של תיכון, מקבלים מצב ש"אין שיפוע".



אז סיכום:

* m הוא השיפוע (או a. תלוי איך קוראים לזה בבית ספרכם)
* b הוא החיתוך עם ציר y (כלומר איפה הגרף חותך את ציר y). (b=n כמובן. כמו עם m ו-a)
* שיפוע חיובי הוא גרף מטפס, ה-m שלו גדול מ-0, והתנועה משמאל לימין היא בעלייה.
* שיפוע שלילי הוא גרף יורד, ה-m שלו קטן מ-0, והתנועה משמאל לימין היא בירידה.
* שיפוע 0 הוא גרף אופקי, שאין בו עלייה או ירידה בתנועה משמאל לימין.
* אין שיפוע הוא גרף אנכי, שאין אפשרות בכלל לנוע עליו בתנועה משמאל לימין.

* כשאין שיפוע, תמיד מדובר בגרף מסוג "מספר=x".
* כשיש שיפוע (חיובי, שלילי או 0) תמיד מדובר בגרף מסוג "משהו=y".

למה "משהו" אתם שואלים? כי זה יכול להיות ביטוי עם x, או ביטוי עם מספר, או ביטוי עם שניהם.
למשל, y=2x, זה כמו y=2x+0, לכן החיתוך עם ציר y הוא 0, כשהשיפוע הוא 2.
למשל, y=6, זה כמו y=0x+6, לכן החיתוך עם ציר y הוא 6 כשהשיפוע הוא 0.
למשל, y=-3x-7 זו משוואה שהגרף בה יורד, החיתוך עם ציר y הוא 7- כשהשיפוע הוא 3-.