עזרה במתמטיקה! (5 יחל, מרוכבים) - קישור מצורף

תפתחי בערך מוחלט, אז הביטוי שווה פעם למינוס אחת ופעם הוא שווה לאחד.

תסמני את z בתור x+yi ותפתרי לפי אגף ממשי ואגף מדומה. וזהו קיבלת את הפתרונות

שואל השאלה:
תודה!

סמני את כל הביטוי המועלה ברביעית ב- t,
ותעבירי את 1 להצגה קוטבית - cis(0).
לאחר מכן, הוציאי שורש רביעי משני האגפים והשתמשי במשפט דה-מואבר, את אמורה לקבל 4 אפשרויות:
t^4=cis(0)
t^4=cis(360k)
[360k - המחזור של cis]
t=cis(360k/4)
t=cis(90k)

אפשרות 1:
t=cis(0)=1
אפשרות 2:
t=cis(90)=cos(90)+i*sin(90)=0+i*1=i
אפשרות 3:
t=cis(180)=cos(180)+isin(180)=-1+i*0=-1
אפשרות 4:
t=cis(270)=cos(270)+isin(270)=0-1i=-i
(עבור אפשרות 5 והלאה נקבל תוצאות זהות שכן cis היא פונקציה שחוזרת על עצמה בקפיצות של 360 מעלות בארגומנט, כלומר cis(360) זה בעצם כמו cis(0) בגלל המחזוריות של cis)

עכשיו תחליפי את t בחזרה לביטוי הנתון,
2z+1
-------
z-1

ואותו תשווי לכל מהאפשרויות שקיבלת-
אפשרות ראשונה:
t=1

2z+1
--------- = 1
z-1

z-1=2z+1
z=-2


אפשרות 2:
t=i

2z+1
-------- = i
z-1

i(z-1)=2z+1
iz-i=2z+1
iz-2z=i+1
z(i-2)=i+1

i+1
------ = z
i-2

נכפול מונה ומכנה בצמוד של המכנה כדי לקבל מספר מרוכב

i (1+i)(-2-i)
---------------- = z
i (-2+i)(-2-i)


i -2-i-2i-i^2
---------------- = z
i 4+2i-2i-i^2



i -2-3i-(-1)
-------------- = z
i 4-(-1)

i -3i-1
------ = z
5


z=-0.2-0.6i


אפשרות 3:
t=-1

2z+1
-------- = 1-
z-1


i. -1(z-1)=2z+1
i. -z+1=2z+1
3z=0
z=0


אפשרות 4:
z=-i

2z+1
-------- = i-
z-1


i. -i(z-1)=2z+1
i. -iz+i=2z+1
iz+2z=-1+i
z(i+2)=-1+i


i -1+i
----- = z
i 2+i


נכפול מונה ומכנה בצמוד של המכנה

i (-1+i)(2-i)
--------------- = z
i (2+i)(2-i)


i -2+i+2i-i^2
------------------ = z
i 4-2i+2i-i^2



i -2+3i-(-1)
--------------- = z
i 4-(-1)



i -1+3i
-------- = z
5


z=-0.2+0.6i


לסיכום - הפתרונות הם:
z=-2
z=-0.2-0.6i
z=0
z=-0.2+0.6i

שואל השאלה:
כבר פתרתי את התרגיל, אבל תודה על ההסבר המפורט!