אם יש לי שני קטעים שווים בין קטעים מקבילים, הקטעים השווים הם גם מקבילים?

לא בהכרח.
יכול להיווצר לך גם טרפז שווה שוקיים.
(במקרה כזה השוקיים הן ישרים שווים בין ישרים מקבילים שהם הבסיסים, וכידוע בטרפז השוקיים אינן מקבילות).
מה שכן, ההיפך הוא הנכון - אם יש לך שני קטעים מקבילים בין שני קטעים מקבילים אחרים, אז תוכלי להגיד שהקטעים האלו שווים. ההוכחה לכך היא ששני זוגות הישרים המקבילים יוצרים מקבילית, כידוע, במקבילית הצלעות הנגדיות שוות זו לזו.

אם הבנתי נכון את הנתונים אז כן.
יש לך אפשרות אולי לצרף תמונה?