האם דוד נחשב לנביא ביהדות? ושלמה? והאבות(אברהם, יצחק יעקב) ונוח?

לא. יש את ספר הנביאים כמו יחזקאל ישעיה ירמיה עובדיה.

דוד הוא מלך

כל מי שדיבר עם אלוהים באופן ישיר הוא נביא.
כלומר האבות הם נביאים.
דוד לא, לדוד היו נביאים, לדוגמא שמואל או נתן.

ביהדות באמת יש הרבה נביאים אבל לא ניראלי שדוד ושלמה נביאים.. למרות שאומרים שמשושלת דוד יבוא המשיח והמשיח כן סוג של נביאי.

לא נראה לי הם נביאים אולי פשוט יש להם רוח הקודש

כן. האבות וודאי שכן (השכינה שרתה עליהם, וה' אמר לאבימלך בקשר לאברהם "כי נביא הוא).

דוד ושמלה גם כן, כי הם כתבו חבירים כמו תהילים, משלי, קהלת ושיר השיר ברוח הקודש. זה נחשב דברי נביא.

אני חושב שרוח הקודש זה לא נביאות.
ולכן, מתוך הרשימה, מי שלא היה נביא הם רק דוד ושלמה.

ומה עם מה שנאמר על אברהם "וְעַתָּה הָשֵׁב אֵשֶׁת הָאִישׁ, כִּי נָבִיא" (בראשית כ, ז).

חוץ מזה רש"י ציין כמה פעמים שאמהות היו נביאות (למשל לאה ידעה שיעקב עתיד להוילד י"ב שבטים).

דוד המלך ישראל (בעל רוח הקודש)
שלמה המלך ישראל
אברהם נביא
יצחק נביא
יעקב נביא
נוח נביא