עזרה באינטגרלים

נגזרת הפונקציה היא
y'=1/sqrt(x)-x.
ידוע כי הערך המקסימלי של הפונקציה הוא 2.5, כלומר ערך ה- y בנקודת המקסימום של הפונקציה הוא 2.5.
נמצא את נקודת המקסימום על ידי השוואה של הנגזרת ל- 0:
i 1/sqrt(x)-x=0
(x=1/sqrt(x
נעלה את שני האגפים בריבוע:
x^2=1/x
נכפיל את שני האגפים ב- x:
x^3=1
נבצע שורש שלישי על שני האגפים:
x=1
(נוודא כי הפתרון מקיים את המשוואה המקורית לפני שהעלנו אותה בריבוע - נקבל שהוא אכן מקיים אותה).

נבדוק אם עבור x=1 מתקבלת נקודת מקסימום בפונקציה f(x) על ידי טבלה:


x|_0___<x<______1_______>x
y'|_____+________0_______-_i
y|_____/_______max.____\_i

||
v

עבור x=1 הפונקציה אכן מקבלת מקסימום, כלומר נוכל להגיד כי y(1)=2.5 [כיוון שנתון שהערך המקסימלי של הפונקציה הוא 2.5].
כעת נבצע אינטגרל על הנגזרת y' על מנת למצוא את הפונקציה y:

y=s y' dx=s 1/sqrt(x)-x dx
y=s 1/x^0.5-x dx
y=s x^(-0.5)-x dx
y=x^0.5/0.5-x^2/2+c
y=2x^0.5-x^2/2+c
y=2sqrt(x)-x^2/2+c
נשתמש בנתון שלנו על מנת למצוא את הקבוע (c):
y(1)=2.5
y(1)=2sqrt(1)-1^2/2+c=2.5
i 2-1/2+c=2.5
c+1.5=2.5
c=1

||
v
הפונקציה היא
y=2sqrt(x)-x^2/2+1

שואל השאלה:
ואיך אפשר לדעת כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר האיקס?

יש שתי דרכים:
1. להשוות את הפונקציה ל- 0 ולראות כמה פתרונות מתקבלים.
2. במידה והמשוואה שמקבלים אינה פתירה, ניתן לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה לפי כל המידע שמוצאים, להסתכל בגרף ולראות כמה פעמים גרף הפונקציה חותך את ציר ה- x.