שאלה במתמטיקה - חישובי שטח באמצעות אינטגרל, אפשר עזרה? - קישור מצורף

לפרוש מהלימודים

אה מה הבעיה זה פשוט

שואל השאלה:
ואיך אני מוצאת את האינטגרל?

צריך לעשות חלוקת פולינומים לדעתי

לחלק לשני שטחים ואז

את צריכה להשתמש בחילוק לשברים, ואם לא למדתם את זה אז תציבי u=x+4 ואז זה קצת שעות של אלגברה

x^4+10x^3+33x^2+36x
------------------------------------- = (f(x
x+4

g(x)=4x.

נעשה חילוק פולינומים ל f(x):
(תזכורת: בחילוק פולנומים קודם כל מחלקים רק איבר עם איקס באיבר עם איקס ואח"כ את התוצאה כופלים בכל הביטוי של המחלק).

.........................x^3+6x^2+9x
.......________________________
x^4+10x^3+33x^2+36x | x+4
................................................. -
...............................x^4+4x^3
..............................------------------
...................6x^3+33x^2
....................................... -
...................6x^3+24x^2
..................--------------------
..........9x^2+36x
.......................... -
..........9x^2+36x
..........----------------
............0

f(x) עדכון:
f(x)=x^3+6x^2+9x
וכמובן ש f(x) עדיין לא מוגדרת עבור x=-4 (מאפס מכנה).
f(-4)=(-4)^3+6(-4)^2+9(-4)=-64+6*16-36=-100+96=-4
||
v
(4- ,4-) נקודת אי רציפות סליקה.
עכשיו נזהה את הגרפים שמתאימים לפונקציות - במקרה הזה קל לראות שהישר שייך ל g(x)=4x והגרף עם החור שייך ל f(x).

עכשיו כדי לחשב את השטח המקווקו שבאיור, נוכל לעשות כך:
נסמן: s1 - השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f(x) וציר ה x בין שתי נקודות המפגש של עם ציר ה x.
s2 - השטח המוגבל ע"י הגרפים של שתי הפונקציות, f(x) ו g(x), בין שתי נקודות החיתוך שלהם.
נחשב את s1 ואת s2 ואז כדי למצוא את השטח המבוקש נחסר ביניהם (s1-s2).
קודם כל נמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה x - לשם כך נשווה את הפונקציה f(x) ל 0:
f(x)=x^3+6x^2+9x=0
נוציא x כגורם משותף:
x(x^2+6x+9)=0
קיבלנו מכפלה של ביטויים שווה ל 0, נשווה כל ביטוי בנפרד ל 0:
x=0

x^2+6x+9=0
x+3)^2=0)
נעשה שורש על שני האגפים ונקבל
x+3=0
x=-3

מכאן ש f(x) חותכת את ציר ה x בנקודות
(0 ,3-), (0 ,0).

כעת נוכל לחשב את s1.
נשים לב כי השטח הוא מתחת לציר ה x ולכן כאשר נעשה את האינטגרל של f(x) מ 3- עד 0 נוסיף מקדם מינוס אחד לאינטגרל(כדי שהתוצאה תצא חיובית, הרי שטח לא יכול להיות שלילי...).
..............................0...............0........
=s1=-s f(x) dx=-s x^3+6x^2+9x dx
..............................3-..............3-........
0
=[x^4/4+6x^3/3+9x^2/2]
3-
0
=[x^4/4+2x^3+9x^2/2]
3-

={[i. - {[0]-[(-3)^4/4+2(-3)^3+9(-3)^2/2
={[i. - {-[81/4+2*9+9*9/2
=i. 81/4+18+81/2
i. 20.25+18+40.5=60.75+18=78.75

כעת כדי למצוא את השטח s2, ראשית נמצא את שיעורי ה x של נקודות החיתוך של הפונקציות f(x) ו g(x).
||
v
(f(x)=g(x
x^3+6x^2+9x=4x
x^3+6x^2+5x=0
נוציא x כגורם משותף:
x(x^2+6x+5)=0
x=0

x^2+6x+5=0
טרינום:
x+5)(x+1)=0)
x+1=0
x=-1 מתאים לנו משום שזאת נקודת החיתוך הראשונה משמאל לציר ה y (כמתואר בשרטוט)

x+5=0
x=-5 - לא מתאים לנו.

כעת נוכל לחשב את השטח s2.
נשים לב כי כדי לחשב שטח זה יש להשתמש בחיסור פונקציות, וכאשר עושים זאת אין חשיבות למקום של השטח בין השני הגרפים - אם הוא מתחת לציר ה x או מעל. מחשבים את האינטגרל כרגיל בלי להוסיף שום דבר.
g(x) היא הפונקציה הגבוהה יותר, לכן מחסרים ממנה את f(x).
......................0
=s2=s g(x)-f(x) dx
.....................1-
......................................0
=s 4x-(x^3+6x^2+9x) dx
.....................................1-
.................................0
=s 4x-x^3-6x^2-9x dx
................................1-
.............................0
=s -x^3-6x^2-5x dx
............................1-
0
=[x^4/4-6x^3/3-5x^2/2-]
1-
0
=[x^4/4-2x^3-5x^2/2]
1-

=[i. [0]-[(-1)^4/4-2(-1)^3-5(-1)^2/2
=[i. -[1/4-2(-1)-5*1/2
=[i. -[1/4+2-5/2
=[i. -[0.25+2-2.5
=[i. -[2-2.25
=[i. -[-0.25
0.25

עכשיו נוכל לחשב את השטח המבוקש (נסמן אותו ב s'):

s'=s1-s2=78.75-0.25=78.5
יח"ר

שואל השאלה:
תודה רבה❤