תשובה אחת
א.
הנקודות d ו e הן אמצעי הקעים ab ו bc בהתאמה (נתון).
הקטע de הוא קטע אמצעים במשולש (קטע שמחבר בין אמצעי הצלעות במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
de||ac (קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה הוא אינו חוצה).
הקטע cf מהווה חלק מהקטע ac, ועל כן מתקיים גם de||fc.
הנקודה f היא אמצע הצלע ac(נתון), לכן-
cf=af=ac/2.
de=ac/2 משום שקטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה.
מכאן ש-
ac/2=de=cf,
ואז המרובע cedf הוא מקבילית (משום שבמרובע cedf יש זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות).
מ.ש.ל א'
ב.
נסמן:
bc=4x.
הנקודה e היא אמצע הצלע bc ולכן מתקיים
be=ce=bc/2=4x/2=2x.
הנקודות d ו f הן אמצעי הקטעים ab ו ac בהתאמה (נתון), לכן הקטע df הוא קטע אמצעים במשולש abc(קטע המחבר בין אמצעי הצלעות במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
df=bc/2=4x/2=2x
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
הוכחנו בסעיף א- המרובע cedf הוא מקבילית.
em=mf משום שהאלכסונים במקבילית חוצים זה את זה.
עכשיו נסמן: ac=4y.
הנקודה f היא אמצע הקטע ac ועל כן מתקיים:
af=fc=ac/2=4y/2.
ed||cf כי אלה צלעות נגדיות במקבילית.
ep מהווה חלק מהקטע ed, ועל כן ep||cf.
הנקודה e היא אמצע הצלע bc ולכן הקטע pe הוא קטע אמצעים במשולש cbf (קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
ep=1/2*cf=1/2*2y=y
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
de||ac - משום שהוכחנו ב-א' כי de הוא קטע אמצעים במשולש abc, ועל כן הוא מקביל לצלע שאותה הוא אינו חוצה.
הקטע pd מהווה חלק מהקטע de, והקטע af מהווה חלק מהקטע ac, ועל כן מתקיים
dp||af.
הנקודה d היא אמצע הצלע ab, ולכן הקטע pd הוא קטע אמצעים במשולש abf (קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
pd=1/2*af=1/2*2y=y
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
מכאן ניתן לראות ש-
y=pd=ep.
עכשיו ניתן להגיד שהקטע mp הוא קטע אמצעים במשולש efd (קטע המחבר בין אמצעי שתי צלעות במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
mp=1/2*df=1/2*2x=x
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
עכשיו הוכחנו ש-
mp=x
ו- bc=4x
ועל כן מתקיים mp=1/4*bc.
מ.ש.ל ב'
הנקודות d ו e הן אמצעי הקעים ab ו bc בהתאמה (נתון).
הקטע de הוא קטע אמצעים במשולש (קטע שמחבר בין אמצעי הצלעות במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
de||ac (קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה הוא אינו חוצה).
הקטע cf מהווה חלק מהקטע ac, ועל כן מתקיים גם de||fc.
הנקודה f היא אמצע הצלע ac(נתון), לכן-
cf=af=ac/2.
de=ac/2 משום שקטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה.
מכאן ש-
ac/2=de=cf,
ואז המרובע cedf הוא מקבילית (משום שבמרובע cedf יש זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות).
מ.ש.ל א'
ב.
נסמן:
bc=4x.
הנקודה e היא אמצע הצלע bc ולכן מתקיים
be=ce=bc/2=4x/2=2x.
הנקודות d ו f הן אמצעי הקטעים ab ו ac בהתאמה (נתון), לכן הקטע df הוא קטע אמצעים במשולש abc(קטע המחבר בין אמצעי הצלעות במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
df=bc/2=4x/2=2x
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
הוכחנו בסעיף א- המרובע cedf הוא מקבילית.
em=mf משום שהאלכסונים במקבילית חוצים זה את זה.
עכשיו נסמן: ac=4y.
הנקודה f היא אמצע הקטע ac ועל כן מתקיים:
af=fc=ac/2=4y/2.
ed||cf כי אלה צלעות נגדיות במקבילית.
ep מהווה חלק מהקטע ed, ועל כן ep||cf.
הנקודה e היא אמצע הצלע bc ולכן הקטע pe הוא קטע אמצעים במשולש cbf (קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
ep=1/2*cf=1/2*2y=y
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
de||ac - משום שהוכחנו ב-א' כי de הוא קטע אמצעים במשולש abc, ועל כן הוא מקביל לצלע שאותה הוא אינו חוצה.
הקטע pd מהווה חלק מהקטע de, והקטע af מהווה חלק מהקטע ac, ועל כן מתקיים
dp||af.
הנקודה d היא אמצע הצלע ab, ולכן הקטע pd הוא קטע אמצעים במשולש abf (קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
pd=1/2*af=1/2*2y=y
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
מכאן ניתן לראות ש-
y=pd=ep.
עכשיו ניתן להגיד שהקטע mp הוא קטע אמצעים במשולש efd (קטע המחבר בין אמצעי שתי צלעות במשולש הוא קטע אמצעים במשולש).
mp=1/2*df=1/2*2x=x
(קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה הוא אינו חוצה).
עכשיו הוכחנו ש-
mp=x
ו- bc=4x
ועל כן מתקיים mp=1/4*bc.
מ.ש.ל ב'
באותו הנושא: