תשובה אחת
סעיף ג'
i. -7x + 4y = -34
ii. 5x - 4y = 30
יש שני דברים עיקריות לפתרון שתי משוואות בשתי נעלמים.
שיטה ראשונה - בידוד והצבה:
נרצה לקחת את אחת מהמשוואות (לא משנה איזו) ולבודד ממנה את אחד הנעלמים, נשתמש בתרגיל כדוגמה, נבחר למשל את משוואה i (וזה לא משנה איזו משוואה היינו בוחרים)
i. -7x + 4y = -34
נבודד את הנעלם y (אפשר גם לבחור לבודד את x)
נוסיף 7x לשני האגפים ונקבל
4y = 7x - 34
נשים לב שנוכל גם לחלק את שני האגפים ב- 4 ולקבל ביטוי של y באמצעות x אך גם ביטוי של 4y מספיק לנו מכיוון שבמשוואה השנייה מופיע 4y
כעת יש לנו ביטוי של 4y רק באמצעות x ולכן נוכל להציב זאת במשוואה השנייה
ii. 5x - (4y) = 30
נציב 7x - 34 במקום 4y ונקבל
5x - (7x - 34) = 30
כלומר
5x - 7x + 34 = 30
נחבר איברים דומים ונקבל
2x + 34 = 30-
נחסר 34 משני האגפים ונקבל
2x = -4-
נכפול ב- 1/2- ונקבל
x = 2
כעת נוכל להציב x = 2 באחת מהמשוואות המקוריות, זה לא משנה איזו ולקבל משוואה אחת בנעלם אחד y , ואת זה כבר קל לפתור, אך נשים לב שבשיטה זאת בודדנו את y באחת מהמשוואות ולכן יהיה הרבה יותר קל ומהיר להציב במשוואה שבודדנו
בודדנו את 4y
4y = 7x - 34
נציב x = 2 ונקבל
4y = 7*2 - 34
4y = 14 - 34
4y = -20
נחלק את שני האגפים ב- 4 ונקבל
y = -5
כלומר הפתרון הוא x = 2 ו- y = -5
אני מציע להציב במקוואות המקוריות ולראות שזה אכן הפתרון
i. -7x + 4y = -34
ii. 5x - 4y = 30
בדיקה:
i. -7*(2) + 4*(-5) = -14 + (-20) = -34
ii. 5*(2) - 4*(-5) = 10 + 20 = 30
וזה אכן הפתרון.
שיטה שניה השוואת מקדמים וחיסור/חיבור של המשוואות:
האמת שהשיטה הזאת יותר מתאימה לפתרון התרגיל אבל לא כולם משתמשים בא, בכל מקרה רצוי לדעת את השיטה הזאת מכיוון שהיא יכולה לחסוך המון זמן וטעויות.
בשיטה זאת נרצה להשוות את אחד המקדמים של אחד הנעלמים בשתי המשוואת, לאחר מכן נחסר את המשוואות (אגף ימין פחות אגף ימין ושמאל פחות שמאל) ותכף אני אסביר מדוע בכלל אפשר לחסר משוואות.
i. -7x + 4y = -34
ii. 5x - 4y = 30
נשים לב שהמקדמים של הנעלם y כבר שווים (יותר נכון נגדיים אף זה גם מתאים לנו)
ולכן אם נחבר משוואות הנעלם y יצטמצם ונקבל משוואה אחת בנעלם אחד. ואת זה כבר קל לפתור.
iii. -7x + 4y + (5x - 4y) = -34 + 30
נקבל
iii. -2x = -4
נכפול ב- 1/2- ונקבל
x = 2
על ידי הצבה באחת מהמשוואות המקוריות x = 2 נקבל משוואה בנעלם אחד y ואת זה כבר קל לפתור, נקבל y = -5 וזה כמובן פתרון דומה למה שקיבלנו קודם.
עכשיו מדוע בכלל מותר לחסר/לחבר משוואת? הרי שמותר לבצע את אותה פעולה על שני האגפים, אז ניתן להסתכל על זה כך, ניקח למשל את המשוואה הראשונה
i. -7x + 4y = -34
ונוסיף לשני האגפים 30 , נקבל
i. -7x + 4y + 30 = -34 + 30
עכשיו את ה- 30 באגף שמאל נחליף בביטוי (5x - 4y) מכיוון שלפי המשוואה השנייה
מתקיים 30 = 5x - 4y
נקבל
i. -7x + 4y + (5x - 4y) = -34 + 30
ולכן מותר לחבר/לחסר משוואות ובאופן כללי לפתור שתי משוואות בשני נעלמים.
בהצלחה !
i. -7x + 4y = -34
ii. 5x - 4y = 30
יש שני דברים עיקריות לפתרון שתי משוואות בשתי נעלמים.
שיטה ראשונה - בידוד והצבה:
נרצה לקחת את אחת מהמשוואות (לא משנה איזו) ולבודד ממנה את אחד הנעלמים, נשתמש בתרגיל כדוגמה, נבחר למשל את משוואה i (וזה לא משנה איזו משוואה היינו בוחרים)
i. -7x + 4y = -34
נבודד את הנעלם y (אפשר גם לבחור לבודד את x)
נוסיף 7x לשני האגפים ונקבל
4y = 7x - 34
נשים לב שנוכל גם לחלק את שני האגפים ב- 4 ולקבל ביטוי של y באמצעות x אך גם ביטוי של 4y מספיק לנו מכיוון שבמשוואה השנייה מופיע 4y
כעת יש לנו ביטוי של 4y רק באמצעות x ולכן נוכל להציב זאת במשוואה השנייה
ii. 5x - (4y) = 30
נציב 7x - 34 במקום 4y ונקבל
5x - (7x - 34) = 30
כלומר
5x - 7x + 34 = 30
נחבר איברים דומים ונקבל
2x + 34 = 30-
נחסר 34 משני האגפים ונקבל
2x = -4-
נכפול ב- 1/2- ונקבל
x = 2
כעת נוכל להציב x = 2 באחת מהמשוואות המקוריות, זה לא משנה איזו ולקבל משוואה אחת בנעלם אחד y , ואת זה כבר קל לפתור, אך נשים לב שבשיטה זאת בודדנו את y באחת מהמשוואות ולכן יהיה הרבה יותר קל ומהיר להציב במשוואה שבודדנו
בודדנו את 4y
4y = 7x - 34
נציב x = 2 ונקבל
4y = 7*2 - 34
4y = 14 - 34
4y = -20
נחלק את שני האגפים ב- 4 ונקבל
y = -5
כלומר הפתרון הוא x = 2 ו- y = -5
אני מציע להציב במקוואות המקוריות ולראות שזה אכן הפתרון
i. -7x + 4y = -34
ii. 5x - 4y = 30
בדיקה:
i. -7*(2) + 4*(-5) = -14 + (-20) = -34
ii. 5*(2) - 4*(-5) = 10 + 20 = 30
וזה אכן הפתרון.
שיטה שניה השוואת מקדמים וחיסור/חיבור של המשוואות:
האמת שהשיטה הזאת יותר מתאימה לפתרון התרגיל אבל לא כולם משתמשים בא, בכל מקרה רצוי לדעת את השיטה הזאת מכיוון שהיא יכולה לחסוך המון זמן וטעויות.
בשיטה זאת נרצה להשוות את אחד המקדמים של אחד הנעלמים בשתי המשוואת, לאחר מכן נחסר את המשוואות (אגף ימין פחות אגף ימין ושמאל פחות שמאל) ותכף אני אסביר מדוע בכלל אפשר לחסר משוואות.
i. -7x + 4y = -34
ii. 5x - 4y = 30
נשים לב שהמקדמים של הנעלם y כבר שווים (יותר נכון נגדיים אף זה גם מתאים לנו)
ולכן אם נחבר משוואות הנעלם y יצטמצם ונקבל משוואה אחת בנעלם אחד. ואת זה כבר קל לפתור.
iii. -7x + 4y + (5x - 4y) = -34 + 30
נקבל
iii. -2x = -4
נכפול ב- 1/2- ונקבל
x = 2
על ידי הצבה באחת מהמשוואות המקוריות x = 2 נקבל משוואה בנעלם אחד y ואת זה כבר קל לפתור, נקבל y = -5 וזה כמובן פתרון דומה למה שקיבלנו קודם.
עכשיו מדוע בכלל מותר לחסר/לחבר משוואת? הרי שמותר לבצע את אותה פעולה על שני האגפים, אז ניתן להסתכל על זה כך, ניקח למשל את המשוואה הראשונה
i. -7x + 4y = -34
ונוסיף לשני האגפים 30 , נקבל
i. -7x + 4y + 30 = -34 + 30
עכשיו את ה- 30 באגף שמאל נחליף בביטוי (5x - 4y) מכיוון שלפי המשוואה השנייה
מתקיים 30 = 5x - 4y
נקבל
i. -7x + 4y + (5x - 4y) = -34 + 30
ולכן מותר לחבר/לחסר משוואות ובאופן כללי לפתור שתי משוואות בשני נעלמים.
בהצלחה !
באותו הנושא: