2 תשובות
אני עדיין לא יא אז אין לי איך לעזור לך אם זה דרך ספר תנסי באתר טיקטק יש שם תשובות
נתונה הפונקציה
g(x) = f(x) + c
באופן כללי, רצוי לדעת שהוספת קבוע לפונקציה מזיז את הפונקציה מעלה או מטה תלוי אם הקבוע חיובי או שלילי.
למשל, הפונקציה f(x) = x^2
אז אם נרשום
g(x) = f(x) + c
שזה כמו לרשום
g(x) = x^2 + c
כעת הוזזנו את הפונקציה f מעלה/מטה ב- c יחידות (תלוי מהו c)
נשתמש בדוגמה יחסית קלה, למשל c = 1
כלומר g(x) = f(x) + 1
נשים לב שלא הוזזנו את הפונקציה לצד אלא רק מעלה מטה ולכן כל ערך שהתקבל מקודם, למשל אם התקבל ערך של (1,1) בפונקציה f כעת הוא יוזז מעלה (רק ערך ה- y) ולכן כעת הערך שיתקבל ב- g הוא (1,2), ובאופן כללי אם התקבל ערך של (x,y) בפונקציה f אז בפונקציה g ערך שיתקבל הוא (x,y+1) מכיוון שהקבוע שהוספנו ל- g הוא 1.
באופן כללי אם נוסיף קבוע c כלשהו לפונקציה f אז כל ערך (x,y) שיתקבל יוזז ויהיה בפונקציה חדשה הערך (x,y+c)
כמובן כל מה שכתבתי פה אינו נוגע ספציפית לשאלה אך כתבתי זאת על דוגמה פשוטה כדי שיהיה קל להבין את הביצוע על דוגמאות מורכבות יותר (ואני ממליץ לך תמיד לקחת דוגמאות פשוטות לתרגילים שאת לא מבינה ולנסות לפתור עליהם במקום לחכות פה לתשובה)
כעת לשאלתך, נתון כי נקודת הקיצון של הפונקציה g (שנזכור שהיא הזזה אנכית של f) נמצאת על ציר x. ראשית נמצא מהי נקודת הקיצון של f על ידי גזירה.
f(x) = 3/x^2 - 6x
f'(x) = -6/x^3 - 6
נשווה את ערך הנגזרת לאפס מכיוון שאנו מחפשים נקודות קיצון ונקבל שנקודת הקיצון היא ב- x = -1
נציב בפונקציה על מנת למצוא מהו ערך ה- y ונקבל ש- y = 9
כלומר נקודת הקיצון נמצאת בערך (x,9) ולא כתבתי מהו x מכיוון שזה לא משנה לנו.
אנחנו יודעים שהוספת קבוע משנה את ערכי ה- y בלבד של כל נקודה ב- f ולכן מהנתון נקבל שערך ה- y של נקודת הקיצון של הפונקציה g הוא
y_{f} - c כאשר {y_{f זה סימון לכך שזה ערך ה- y ש- f מחזירה שהוא כמובן 9 בקיצון, נרצה שנקודת הקיצון תתקבל בציר x כלומר שערך ה- y בנקודת הקיצון יהיה 0 ולכן c חייב להיות (9-) , כלומר c = -9
כעת מבקשים לסרטט גרף של הפונקציה g אך כפי שכתבתי הוספה של קבוע מזיזה את הפונקציה f מעלה/מטה, ובמקרה של הוספה של (9-) אנו מזיזים את הגרף של f ב- 9 יחידות מטה, ולכן כל נקודה שנמצאת ב- f ערך ה- y שלה יוזז מטה. ואין כל בעיה לצייר את g.
בסעיף האחרון מבקשים למצוא את השטח המתקבל על ידי g , הישר x = -3 ועל ידי ציר ה- x.
אם סרטוט הגרף של g נמצא מולך קל לראות את השטח שמבקשים, זה פשוט השטח שמתחת לגרף של g בין הנקודות x = -3 לבין ה- x שהוא נמצא בנקודת החיתוך של ציר x שזה גם נקודת הקיצון שמצאנו ב- x = -1
בשביל זה ראשית עלינו לבצע אינטגרל לפונקציה g שהיא כזכור
g(x) = 3/x^2 - 6x - 9
נשים לב שאפשר לכתוב (i. 3/x^2 = 3x^(-2
מטעמי נוחות כי אז יותר קל לבצע אינטגרל לפי הכלל של
(integral(x^m) = x^(m+1)/(m+1
עבור m ששונה מ- (1-)
g(x) = 3x^(-2) - 6x - 9
כעת נבצע את האינטגרל ונקבל פונקציה קדומה (g(x שהיא
g(x) = 3x^(-2+1)/(-2+1) - 6x^2/2 - 9x
כלומר
g(x) = -3x^(-1) - 3x^2 - 9x
ונוכל לכתוב ii. -3x^(-1) = -3/x
g(x) = -3/x - 3x^2 - 9x
נעיר שיש להוסיף קבוע כאשר מבצעים אינטגרל מכיוון שמחפשים פונקציה קדומה אך כאשר רוצים למצוא פונקציה קדומה כדי למצוא שטח מתחת לגרף אין צורך להוסיף קבוע כי הוא מצטמצם בחיסור של הערכים.
כל מה שנותר הוא להציב ב- g את ערך ה- x של התחום שבו נרצה למצוא את השטח, נזכור שהשטח מוגבל בין נקודת החיתוך של g עם ציר x (שזאת גם נקודת הקיצון) x = -1
והישר x = -3, כל שנותר זה להציב ב- g את הערך הימני ולחסר ממנו את הערך השמאלי.
g(-1) - g(-3) = 9 - 1 = 8
כלומר השטח הוא 8 .
בהצלחה !
g(x) = f(x) + c
באופן כללי, רצוי לדעת שהוספת קבוע לפונקציה מזיז את הפונקציה מעלה או מטה תלוי אם הקבוע חיובי או שלילי.
למשל, הפונקציה f(x) = x^2
אז אם נרשום
g(x) = f(x) + c
שזה כמו לרשום
g(x) = x^2 + c
כעת הוזזנו את הפונקציה f מעלה/מטה ב- c יחידות (תלוי מהו c)
נשתמש בדוגמה יחסית קלה, למשל c = 1
כלומר g(x) = f(x) + 1
נשים לב שלא הוזזנו את הפונקציה לצד אלא רק מעלה מטה ולכן כל ערך שהתקבל מקודם, למשל אם התקבל ערך של (1,1) בפונקציה f כעת הוא יוזז מעלה (רק ערך ה- y) ולכן כעת הערך שיתקבל ב- g הוא (1,2), ובאופן כללי אם התקבל ערך של (x,y) בפונקציה f אז בפונקציה g ערך שיתקבל הוא (x,y+1) מכיוון שהקבוע שהוספנו ל- g הוא 1.
באופן כללי אם נוסיף קבוע c כלשהו לפונקציה f אז כל ערך (x,y) שיתקבל יוזז ויהיה בפונקציה חדשה הערך (x,y+c)
כמובן כל מה שכתבתי פה אינו נוגע ספציפית לשאלה אך כתבתי זאת על דוגמה פשוטה כדי שיהיה קל להבין את הביצוע על דוגמאות מורכבות יותר (ואני ממליץ לך תמיד לקחת דוגמאות פשוטות לתרגילים שאת לא מבינה ולנסות לפתור עליהם במקום לחכות פה לתשובה)
כעת לשאלתך, נתון כי נקודת הקיצון של הפונקציה g (שנזכור שהיא הזזה אנכית של f) נמצאת על ציר x. ראשית נמצא מהי נקודת הקיצון של f על ידי גזירה.
f(x) = 3/x^2 - 6x
f'(x) = -6/x^3 - 6
נשווה את ערך הנגזרת לאפס מכיוון שאנו מחפשים נקודות קיצון ונקבל שנקודת הקיצון היא ב- x = -1
נציב בפונקציה על מנת למצוא מהו ערך ה- y ונקבל ש- y = 9
כלומר נקודת הקיצון נמצאת בערך (x,9) ולא כתבתי מהו x מכיוון שזה לא משנה לנו.
אנחנו יודעים שהוספת קבוע משנה את ערכי ה- y בלבד של כל נקודה ב- f ולכן מהנתון נקבל שערך ה- y של נקודת הקיצון של הפונקציה g הוא
y_{f} - c כאשר {y_{f זה סימון לכך שזה ערך ה- y ש- f מחזירה שהוא כמובן 9 בקיצון, נרצה שנקודת הקיצון תתקבל בציר x כלומר שערך ה- y בנקודת הקיצון יהיה 0 ולכן c חייב להיות (9-) , כלומר c = -9
כעת מבקשים לסרטט גרף של הפונקציה g אך כפי שכתבתי הוספה של קבוע מזיזה את הפונקציה f מעלה/מטה, ובמקרה של הוספה של (9-) אנו מזיזים את הגרף של f ב- 9 יחידות מטה, ולכן כל נקודה שנמצאת ב- f ערך ה- y שלה יוזז מטה. ואין כל בעיה לצייר את g.
בסעיף האחרון מבקשים למצוא את השטח המתקבל על ידי g , הישר x = -3 ועל ידי ציר ה- x.
אם סרטוט הגרף של g נמצא מולך קל לראות את השטח שמבקשים, זה פשוט השטח שמתחת לגרף של g בין הנקודות x = -3 לבין ה- x שהוא נמצא בנקודת החיתוך של ציר x שזה גם נקודת הקיצון שמצאנו ב- x = -1
בשביל זה ראשית עלינו לבצע אינטגרל לפונקציה g שהיא כזכור
g(x) = 3/x^2 - 6x - 9
נשים לב שאפשר לכתוב (i. 3/x^2 = 3x^(-2
מטעמי נוחות כי אז יותר קל לבצע אינטגרל לפי הכלל של
(integral(x^m) = x^(m+1)/(m+1
עבור m ששונה מ- (1-)
g(x) = 3x^(-2) - 6x - 9
כעת נבצע את האינטגרל ונקבל פונקציה קדומה (g(x שהיא
g(x) = 3x^(-2+1)/(-2+1) - 6x^2/2 - 9x
כלומר
g(x) = -3x^(-1) - 3x^2 - 9x
ונוכל לכתוב ii. -3x^(-1) = -3/x
g(x) = -3/x - 3x^2 - 9x
נעיר שיש להוסיף קבוע כאשר מבצעים אינטגרל מכיוון שמחפשים פונקציה קדומה אך כאשר רוצים למצוא פונקציה קדומה כדי למצוא שטח מתחת לגרף אין צורך להוסיף קבוע כי הוא מצטמצם בחיסור של הערכים.
כל מה שנותר הוא להציב ב- g את ערך ה- x של התחום שבו נרצה למצוא את השטח, נזכור שהשטח מוגבל בין נקודת החיתוך של g עם ציר x (שזאת גם נקודת הקיצון) x = -1
והישר x = -3, כל שנותר זה להציב ב- g את הערך הימני ולחסר ממנו את הערך השמאלי.
g(-1) - g(-3) = 9 - 1 = 8
כלומר השטח הוא 8 .
בהצלחה !
באותו הנושא: