בעיות קיצון 4 יחל כיתה יא

רק שתדע/י שהורידו בעיות קיצון מהבגרות.. :)

שואל השאלה:
ואי חח מזל שאמרת לא ידעתי!

..................\/ a
...............\..|../
.............\....|..../
...........\......|....../
.........\........|......../
........_____________ b
.......d.........c.............

נתון: משולש abc הוא ש"ש, p abc = 30.

א. נסמן: bc = 2x,
ab = bc = z

p abc = 30 (נתון)
ab + bc + ac = 30
z + 2x +z = 30
2z + 2x = 30
2z = 30 - 2x \:2
z = 15 - x
||
v
ab = ac = 15 - x.
ad הוא הגובה במשולש
(adc = <adb = 90>).
הגובה במשולש ש"ש הוא גם תיכון ולכן:
bd = dc = bc/2 = 2x/2 = x.
עכשיו ניתן לעשות פיתגורס במשולש adc,(או משולש adb זה לא משנה.) אני אבחר לעשות פיתגורס במשולש adc:
ad^2 + dc^2 = ac^2
ad^2 + x^2 = (15-x)^2
ad^2 = (15-x)^2 - x^2
ad^2 = 225 - 30x + x^2 - x^2
ad^2 = 225 - 30x
(ad = sqrt(225 - 30x
גובה המשולש לבסיס הוא
שורש(225-30x).

ב.
s abc = ad*bc/2
(שטח משולש- בסיס כפול גובה חלקי 2)
= s abc = sqrt(225-30x)*2x/2
(x*sqrt(225-30x
וזאת פונקציית המטרה שלנו. כדי לגזור אותה יש לשים לב שצריך לגזור לפי כלל הנגזרת של מכפלה:
s abc' = 1*sqrt(225-30x)+x*((-30)/(2sqrt(225-30x
s abc' = sqrt(225-30x)-15x/(sqrt(225-30x))

מכנה משותף- (sqrt(225-30x
i 225-30x-15x
------------------------ = 's abc
(sqrt(225-30x

i 225-45x
---------------------- = 's abc
(sqrt(225-30x

נשווה את הנגזרת ל 0:
i 225-45x
----------------------- = 0
(sqrt(225-30x
מכנה מתבטל:
i 225-45x=0
45x=225 \:45
x=5

עכשיו כדי לוודא שעבור x=5 שטח המשולש הוא אכן מקסימלי, נוכל לעשות נגזרת שנייה רק למונה(משום שהביטוי במכנה הוא חיובי לכל איקס עבורו הפונקציה מוגדרת ולכן הוא אינו משפיע על סימן הנגזרת השנייה):
y'' מונה = -45 < 0
max. v

עבור x=5 שטח המשולש הוא מקסימלי.

ג. מצאנו כי עבור x=5 שטח המשולש הוא מקסימלי, עכשיו נציב x=5 בצלעות המשולש ונוכיח שהן שוות:
bc = 2x = 2*5 = 10
ab = ac = 15 - x = 15 - 5 = 10
||
||
v
ab = ac = bc = 10
ס"מ
המשולש שיש לו שטח מקסימלי הוא שווה צלעות.
מ.ש.ל