2 תשובות
נסמן אורך ניצב אחד ב- x ואת אורכו של הניצב השני ב- y.
ידוע שמתקיים x + y = 20 ולכן נוכל לכתוב y = 20-x ולעבור למשתנה יחיד x.
נחליט כי x הוא אורכו של הניצב bc מטעמי נוחות, כי בהמשך נצטרך לחלק את גודלו.
אם כן אורכו של הניצב ab הוא x-20
כעת אורכו של הקטע bd הוא x/2 מכיוון ש- ad הוא תיכון ולפי הגדרה חוצה את הצלע לשני גדלים שווים. כעת נסתכל על משולש abd. אנחנו יודעים את אורכי הניצבים במשולש ולכן נוכל למצוא את אורך היתר בעזרת משפט פיתגורס.
i. ab^2 + bd^2 = ad^2
נציב את הנתונים שלנו ונקבל
ad^2 = (20-x)^2 + (x/2)^2
נפתח סוגריים
ad^2 = 400 - 40x + x^2 + x^2/4
נחבר איברים דומים
ad^2 = 5x^2/4 - 40x + 400
אפשר להוציא 5/4 גורם משותף מטעמי נוחות אבל זה לא חובה, אני אוציא:
(ad^2 = 5/4 (x^2 - 32x + 320
את מוזמנת לפתוח סוגריים ולראות שנקבל את המשוואה מלמעלה.
כעת נוציא שורש לשני האגפים, נקבל
(ad = sqrt(5)/2 * sqrt(x^2 - 32x + 320
נזכור שאנחנו מחפשים נקודת מינימום ולכן נגזור את הביטוי, לפי נגזרת של שורש, נקבל
(ad' = sqrt(5)/2 * (2x - 32)/2sqrt(same
נשוואה את הביטוי לאפס ונקבל
2x - 32 = 0
מפה קל לראות ש- x = 16
יש לבדוק שזאת אכן נקודת מינימום, אל מכיוון שהתקבלה תשובה יחידה נוכל להסיק זו, אני בכל זאת מציע לך לבדוק שהנקודה היא מינימום על ידי גזירה נוספת.
בהצלחה !
ידוע שמתקיים x + y = 20 ולכן נוכל לכתוב y = 20-x ולעבור למשתנה יחיד x.
נחליט כי x הוא אורכו של הניצב bc מטעמי נוחות, כי בהמשך נצטרך לחלק את גודלו.
אם כן אורכו של הניצב ab הוא x-20
כעת אורכו של הקטע bd הוא x/2 מכיוון ש- ad הוא תיכון ולפי הגדרה חוצה את הצלע לשני גדלים שווים. כעת נסתכל על משולש abd. אנחנו יודעים את אורכי הניצבים במשולש ולכן נוכל למצוא את אורך היתר בעזרת משפט פיתגורס.
i. ab^2 + bd^2 = ad^2
נציב את הנתונים שלנו ונקבל
ad^2 = (20-x)^2 + (x/2)^2
נפתח סוגריים
ad^2 = 400 - 40x + x^2 + x^2/4
נחבר איברים דומים
ad^2 = 5x^2/4 - 40x + 400
אפשר להוציא 5/4 גורם משותף מטעמי נוחות אבל זה לא חובה, אני אוציא:
(ad^2 = 5/4 (x^2 - 32x + 320
את מוזמנת לפתוח סוגריים ולראות שנקבל את המשוואה מלמעלה.
כעת נוציא שורש לשני האגפים, נקבל
(ad = sqrt(5)/2 * sqrt(x^2 - 32x + 320
נזכור שאנחנו מחפשים נקודת מינימום ולכן נגזור את הביטוי, לפי נגזרת של שורש, נקבל
(ad' = sqrt(5)/2 * (2x - 32)/2sqrt(same
נשוואה את הביטוי לאפס ונקבל
2x - 32 = 0
מפה קל לראות ש- x = 16
יש לבדוק שזאת אכן נקודת מינימום, אל מכיוון שהתקבלה תשובה יחידה נוכל להסיק זו, אני בכל זאת מציע לך לבדוק שהנקודה היא מינימום על ידי גזירה נוספת.
בהצלחה !
|../ a
|././
|.../../
|..../.../
|...../....../
_________ c
d....b
נתון: משולש abc הוא ישר־זווית(b = 90>),
ad תיכון לניצב bc
(bd = dc),
סכום אורכי הניצבים הוא 20 ס"מ(ab+bc=20)
.ab, bc = ? -----------> ad min
נסמן: bc = x
ואז: ab = 20 - x
(משום שסכום אורכי הניצבים הוא 20 ס"מ)
bd = bc = bc/2 = x/2
(נתון ש־ad תיכון לצלע bc במשולש abc)
משולש adb הוא ישר זווית, משום שנתון ש־
b = 90>
ואז ניתן לעשות פיתגורס במשולש adb:
ab^2 + bd^2 = ad^2
i (20-x)^2 + (x/2)^2 = ad^2
ad^2 = 400-40x+x^2+x^2/4
ad^2=1.25x^2-40x+400
(ad=sqrt(1.25x^2-40x+400
וזאת פונקציה המטרה שלנו.
2.5x-40
--------------------------------------- = 'ad
(2sqrt(1.25x^2-40x+400
(תזכורת: נגזרת של פונקציית שורש זה נגזרת של הפונציה בתוך השורש חלקי פעמיים הפונקציה המקורית{עם השורש}).
נשווה את ad' ל־0:
ad' = 0
2.5x-40
--------------------------------------- = 0
(2sqrt(1.25x^2-40x+400
מכנה מתבטל:
2.5x - 40 = 0
2.5x = 40 \:2.5
x = 16
נעשה נגזרת שנייה רק למונה, כדי לבדוק את סוג הקיצון(ניתן לעשות נגזרת שנייה רק למונה משום שהמכנה הוא ביטוי חיובי לכל תחום ההגדרה של הפונקציה ad, ולכן לא ישפיע על הסימן של הנגזרת השנייה):
ad'' מונה = 2.5 > 0
min. v
אורכי הניצבים בעבורם התיכון ad הוא מינימלי הם:
bc = x = 16
ס"מ
ab = 20 - x = 20 - 16 = 4
ס"מ
|././
|.../../
|..../.../
|...../....../
_________ c
d....b
נתון: משולש abc הוא ישר־זווית(b = 90>),
ad תיכון לניצב bc
(bd = dc),
סכום אורכי הניצבים הוא 20 ס"מ(ab+bc=20)
.ab, bc = ? -----------> ad min
נסמן: bc = x
ואז: ab = 20 - x
(משום שסכום אורכי הניצבים הוא 20 ס"מ)
bd = bc = bc/2 = x/2
(נתון ש־ad תיכון לצלע bc במשולש abc)
משולש adb הוא ישר זווית, משום שנתון ש־
b = 90>
ואז ניתן לעשות פיתגורס במשולש adb:
ab^2 + bd^2 = ad^2
i (20-x)^2 + (x/2)^2 = ad^2
ad^2 = 400-40x+x^2+x^2/4
ad^2=1.25x^2-40x+400
(ad=sqrt(1.25x^2-40x+400
וזאת פונקציה המטרה שלנו.
2.5x-40
--------------------------------------- = 'ad
(2sqrt(1.25x^2-40x+400
(תזכורת: נגזרת של פונקציית שורש זה נגזרת של הפונציה בתוך השורש חלקי פעמיים הפונקציה המקורית{עם השורש}).
נשווה את ad' ל־0:
ad' = 0
2.5x-40
--------------------------------------- = 0
(2sqrt(1.25x^2-40x+400
מכנה מתבטל:
2.5x - 40 = 0
2.5x = 40 \:2.5
x = 16
נעשה נגזרת שנייה רק למונה, כדי לבדוק את סוג הקיצון(ניתן לעשות נגזרת שנייה רק למונה משום שהמכנה הוא ביטוי חיובי לכל תחום ההגדרה של הפונקציה ad, ולכן לא ישפיע על הסימן של הנגזרת השנייה):
ad'' מונה = 2.5 > 0
min. v
אורכי הניצבים בעבורם התיכון ad הוא מינימלי הם:
bc = x = 16
ס"מ
ab = 20 - x = 20 - 16 = 4
ס"מ
באותו הנושא: