7 תשובות
2^(x+2) גדול מ0 כשx/=/ -2
7>3 תמיד
לכן כשמחברים ביניהם התוצאה תהיה תמיד 7 או מספר גדול יותר וזה תמיד גדול מ3.
אפשר להוכיח באמצעות
-4<2^(x+2) אם מעבירים את ה7
ובגלל שהמינימום של x+2 בריבוע זה 0 זה תמיד גדול מ-4
7>3 תמיד
לכן כשמחברים ביניהם התוצאה תהיה תמיד 7 או מספר גדול יותר וזה תמיד גדול מ3.
אפשר להוכיח באמצעות
-4<2^(x+2) אם מעבירים את ה7
ובגלל שהמינימום של x+2 בריבוע זה 0 זה תמיד גדול מ-4
אוקיי, אני אפתור בשתי גישות, הגישה הנאיבית של פתרון אי-שוויון וגישה אחרת, קצת יותר חכמה לפי דעתי.
גישה ראשונה:
x + 2)^2 + 7 > 3)
אוקיי זהו אי-שוויון, אני תמיד ממליץ להתחיל בהצבת כמה ערכים של איקס לאי השוויון על מנת לראות ולהבין קצת יותר טוב איך הוא מתנהג, מומלץ להציב מספרים "יפים" כמו 1, 1- או אפילו 0
אני מציע לך להציב ולראות מה את מקבלת.
בכל מקרה לפתרון, במתמטיקה אוהבים לפשט דברים, אנו מסתכלים כעת על ביטוי יחסית מורכב ולא תמיד ניתן ישר לדעת עבור אילו תנאים הוא יתקיים, ולכן יש את האפשרות לפשט את הביטוי לביטוי פשוט יותר ושקול מבחינה לוגית (כלומר אם הביטוי הפשוט יותר יתקיים בתנאים מסוימים כך גם הביטוי המקורי יתקיים באותם תנאים) אז איך מפשטים ביטויים ואי שוויונות - על ידי ביצוע פעולות דומות על שני האגפים, בדיוק כמו משוואה, רק יש להיזהר כאשר כופלים אי שוויון במספר שלילי, מכיוון שסימן אי השוויון לא נשמר, אם למשל אכתוב
2 < 3
שזה ביטוי נכון, ואכפול את שני האגפים ב- (1-) אקבל:
(2-) < (3-)
ביטוי זה אינו נכון, מכיוון ש- (2-) גדול יותר מ- (3-) ולכן כאשר כופלים אי שוויון במספר שלילי יש להפוך את סימן של אי השוויון, זאת אמנם אינה הוכחה, אך אנשים כבר הוכיחו שזה מתקיים תמיד (כפל במספר שלילי דורש לשנות את סימן אי השוויון) ונסמוך על ההוכחה שלהם.
ובכן נפשט את הביטוי
x + 2)^2 + 7 > 3)
ראשית נפתח סוגריים באגף שמאל, אפשר לעשות זאת לפי נוסחה של כפל מקוצר או הגישה שאני מעדיף היא פשוט לכפול את הסוגריים בעצמם, כפי שפעולת החזקה מוגדרת, נקבל
x^2 + 4x + 4 + 7 > 3
כעת זהו ביטוי *שקול* לביטוי המקורי, אך עדיין מורכב מכדי לחלץ את התנאים, נפשט אותו.
נחבר איברים דומים באגף שמאל ונחסר 3 משני האגפים ונקבל
x^2 + 4x + 11 - 3 > 0
שוב נחבר איברים דומים ונקבל
x^2 + 4x + 8 > 0
ובכן קיבלנו את אי השוויון הנ"ל.
הוא קצת יותר פשוט ויש דרך יחסית פשוטה לפתור אותו, נשים לב שהביטוי x^2 + 4x + 8
מייצג פונקציה מהצורה של פרבולה, אני אניח שאת יודעת באופן כללי פונקציות אך אסביר מעט על הפונקציה מסוג פרבולה, זו פונקציה המתארת עקום במישור בעל נקודת קיצון יחידה (מקסימום או מינימום) אשר יש לה לכל היותר שתי נקודות חיתוך עם הצירים, את מוזמנת לצייר כמה פרבולות כדי להשתכנע.
בכל מקרה המקדם של x^2 (שבמקרה שלנו הוא פשוט 1) קובע האם הפרבולה היא ישרה (נהוג לומר גם מחייכת או צוחקת) או הפוכה (נהוג לומר גם עצובה או בוכה) אם המקדם חיובי (שזה בדיוק המקרה שלנו) הפרבולה תהיה ישרה, אחרת היא תהיה הפוכה.
אם נסמן f(x) = x^2 + 4x + 8
נשים לב שבעצם אי השוויון הוא
f(x) > 0
כלומר אנו מחפשים את תחום ערכי ה- x 'ים עבורם הפרבולה מחזירה מספרים חיוביים, אם למשל נבדוק f(1) = (1)^2 + 2(1) + 8 נקבל 11 ולכן x = 1 יהיה בתחום הערכים האלה ויפתור את אי השוויון, אך זו לא דרך טובה לבדוק ערך-ערך ולכן ננסה לתאר בצורה גרפית את הפרבולה, אם ננסה למצוא את השורשים שלה, למשל על ידי נוסחת השורשים, נמצא שאין פתרון, זאת מכיוון שהביטוי שנמצא תחת השורש בנוסחת השורשים (נקרא גם "המבחין" או "הדסקרימיננטה" בלועזית) שלילי, הביטוי המבחין הוא b^2 - 4ac
אצלנו זה יהיה שווה ל- 8*1*4 - 16 לא צריך אפילו לבדוק את התוצאה כדי להשתכנע ש- 32 - 16 זה מספר שלילי.
ולכן הפרבולה שלנו תהיה מחייכת כך שאין לה נקודות חיתוך עם ציר האיקס.
מכך שהפרבולה מחייכת ניתן להסיק שנקודת הקיצון שלה היא בעצם מינימום, ומכך שאין לה נקודות חיתוך עם ציר האיקס ניתן להסיק שנקודת המינימום שלה חיובית (אחרת אם נקודת המינימום הייתה שלילית היא בוודאות הייתה חותכת את ציר ה- x )
ולכן השאלה השקולה שלנו לגבי עבור אילו ערכי x הפונקציה מחזירה מספרים חיוביים.
כלומר f(x) > 0 או באופן מפורש
x^2 + 4x + 8 > 0
מתקיימת תמיד, ומכיוון שהשאלה הזאת שקולה לבעיה המקורית מבחינה מתמטית, גם אי השוויון המקורי יתקיים תמיד, כלומר עבור כל ערך x.
אני ארצה להתייחס גם לכך שכתבת: מדוע זה מתקיים לכל ערך x ולא "לאף ערך x"
ובכן אם תציבי ערך x כלשהו ותראי שאי השוויון מתקיים עבורו, אז שללת את זה שזה לא מתקיים, כי למשל עבור x = 1 אי השוויון מתקיים ולכן לא יכול להיות שאף x לא מקיים את אי השוויון.
הדרך הזאת אולי נראת קצת מסובכת וארוכה, אך זאת דרך סטנדרתית וניתן לפתור בעזרתה הרבה אי שוויונות וחשוב שתכירי אותה.
דרך נוספת:
ובכן נסתכל שוב על אי השוויון
x + 2)^2 + 7 > 3)
בואי נקרא רגע לביטוי (x+2) בשם אחר, למשל y אז מה בעצם כתוב לנו פה
y^2 + 7 > 3
נפשט אותו רק קצת, נחסר 7 משני האגפים
y^2 > -4
ובכן קיבלנו אי שוויון שקול, מתי מספר כלשהו בריבוע גדול ממספר שלילי - ובכן זה מתקיים תמיד מכיוון שאם ניקח כל מספר ונעלה אותו בריבוע התוצאה תהיה חיובית או יותר נכון אי שלילית (לא שלילית), ולכן עבור כל y אי השוויון מתקיים. נזכור ש- y = x + 2
ולכן עבור כל x+2 אי השוויון יתקיים, כלומר עבור כל x אי השוויון יתקיים.
הדרך הזאת אמנם קצרה יותר אך לא ניתן לפתור בעזרת תמיד, זאת דרך ספציפית העומדת בתנאים מסוימים של התרגיל, וצריך ניסיון כדי למצוא דרכים כאלו.
בכל מקרה אני מקווה שאת עכשיו יודעת קצת יותר איך לפתור אי שוויונות ריבועיים, בכל מקרה אני מציע לך לחזור טוב על הנושא של פישוט משוואות ואי שוויונות (שקילויות), פונקציות וכל מה שאת לא מרגישה נוח לגביו, הבסיס המתמטי מאוד חשוב מכיוון שגם בשאלות אלגבריות עלולים להיתקל בפונקציות, כמעט כל הנושאים במתמטיקה קשורים אחד לשני ויש לדעת טוב את ההגדרות והמושגים, אחרי שיודעים אותם הכל נהיה הרבה יותר פשוט ולא צריך לזכור דבר, רק לפעול לפיהם.
בהצלחה !
גישה ראשונה:
x + 2)^2 + 7 > 3)
אוקיי זהו אי-שוויון, אני תמיד ממליץ להתחיל בהצבת כמה ערכים של איקס לאי השוויון על מנת לראות ולהבין קצת יותר טוב איך הוא מתנהג, מומלץ להציב מספרים "יפים" כמו 1, 1- או אפילו 0
אני מציע לך להציב ולראות מה את מקבלת.
בכל מקרה לפתרון, במתמטיקה אוהבים לפשט דברים, אנו מסתכלים כעת על ביטוי יחסית מורכב ולא תמיד ניתן ישר לדעת עבור אילו תנאים הוא יתקיים, ולכן יש את האפשרות לפשט את הביטוי לביטוי פשוט יותר ושקול מבחינה לוגית (כלומר אם הביטוי הפשוט יותר יתקיים בתנאים מסוימים כך גם הביטוי המקורי יתקיים באותם תנאים) אז איך מפשטים ביטויים ואי שוויונות - על ידי ביצוע פעולות דומות על שני האגפים, בדיוק כמו משוואה, רק יש להיזהר כאשר כופלים אי שוויון במספר שלילי, מכיוון שסימן אי השוויון לא נשמר, אם למשל אכתוב
2 < 3
שזה ביטוי נכון, ואכפול את שני האגפים ב- (1-) אקבל:
(2-) < (3-)
ביטוי זה אינו נכון, מכיוון ש- (2-) גדול יותר מ- (3-) ולכן כאשר כופלים אי שוויון במספר שלילי יש להפוך את סימן של אי השוויון, זאת אמנם אינה הוכחה, אך אנשים כבר הוכיחו שזה מתקיים תמיד (כפל במספר שלילי דורש לשנות את סימן אי השוויון) ונסמוך על ההוכחה שלהם.
ובכן נפשט את הביטוי
x + 2)^2 + 7 > 3)
ראשית נפתח סוגריים באגף שמאל, אפשר לעשות זאת לפי נוסחה של כפל מקוצר או הגישה שאני מעדיף היא פשוט לכפול את הסוגריים בעצמם, כפי שפעולת החזקה מוגדרת, נקבל
x^2 + 4x + 4 + 7 > 3
כעת זהו ביטוי *שקול* לביטוי המקורי, אך עדיין מורכב מכדי לחלץ את התנאים, נפשט אותו.
נחבר איברים דומים באגף שמאל ונחסר 3 משני האגפים ונקבל
x^2 + 4x + 11 - 3 > 0
שוב נחבר איברים דומים ונקבל
x^2 + 4x + 8 > 0
ובכן קיבלנו את אי השוויון הנ"ל.
הוא קצת יותר פשוט ויש דרך יחסית פשוטה לפתור אותו, נשים לב שהביטוי x^2 + 4x + 8
מייצג פונקציה מהצורה של פרבולה, אני אניח שאת יודעת באופן כללי פונקציות אך אסביר מעט על הפונקציה מסוג פרבולה, זו פונקציה המתארת עקום במישור בעל נקודת קיצון יחידה (מקסימום או מינימום) אשר יש לה לכל היותר שתי נקודות חיתוך עם הצירים, את מוזמנת לצייר כמה פרבולות כדי להשתכנע.
בכל מקרה המקדם של x^2 (שבמקרה שלנו הוא פשוט 1) קובע האם הפרבולה היא ישרה (נהוג לומר גם מחייכת או צוחקת) או הפוכה (נהוג לומר גם עצובה או בוכה) אם המקדם חיובי (שזה בדיוק המקרה שלנו) הפרבולה תהיה ישרה, אחרת היא תהיה הפוכה.
אם נסמן f(x) = x^2 + 4x + 8
נשים לב שבעצם אי השוויון הוא
f(x) > 0
כלומר אנו מחפשים את תחום ערכי ה- x 'ים עבורם הפרבולה מחזירה מספרים חיוביים, אם למשל נבדוק f(1) = (1)^2 + 2(1) + 8 נקבל 11 ולכן x = 1 יהיה בתחום הערכים האלה ויפתור את אי השוויון, אך זו לא דרך טובה לבדוק ערך-ערך ולכן ננסה לתאר בצורה גרפית את הפרבולה, אם ננסה למצוא את השורשים שלה, למשל על ידי נוסחת השורשים, נמצא שאין פתרון, זאת מכיוון שהביטוי שנמצא תחת השורש בנוסחת השורשים (נקרא גם "המבחין" או "הדסקרימיננטה" בלועזית) שלילי, הביטוי המבחין הוא b^2 - 4ac
אצלנו זה יהיה שווה ל- 8*1*4 - 16 לא צריך אפילו לבדוק את התוצאה כדי להשתכנע ש- 32 - 16 זה מספר שלילי.
ולכן הפרבולה שלנו תהיה מחייכת כך שאין לה נקודות חיתוך עם ציר האיקס.
מכך שהפרבולה מחייכת ניתן להסיק שנקודת הקיצון שלה היא בעצם מינימום, ומכך שאין לה נקודות חיתוך עם ציר האיקס ניתן להסיק שנקודת המינימום שלה חיובית (אחרת אם נקודת המינימום הייתה שלילית היא בוודאות הייתה חותכת את ציר ה- x )
ולכן השאלה השקולה שלנו לגבי עבור אילו ערכי x הפונקציה מחזירה מספרים חיוביים.
כלומר f(x) > 0 או באופן מפורש
x^2 + 4x + 8 > 0
מתקיימת תמיד, ומכיוון שהשאלה הזאת שקולה לבעיה המקורית מבחינה מתמטית, גם אי השוויון המקורי יתקיים תמיד, כלומר עבור כל ערך x.
אני ארצה להתייחס גם לכך שכתבת: מדוע זה מתקיים לכל ערך x ולא "לאף ערך x"
ובכן אם תציבי ערך x כלשהו ותראי שאי השוויון מתקיים עבורו, אז שללת את זה שזה לא מתקיים, כי למשל עבור x = 1 אי השוויון מתקיים ולכן לא יכול להיות שאף x לא מקיים את אי השוויון.
הדרך הזאת אולי נראת קצת מסובכת וארוכה, אך זאת דרך סטנדרתית וניתן לפתור בעזרתה הרבה אי שוויונות וחשוב שתכירי אותה.
דרך נוספת:
ובכן נסתכל שוב על אי השוויון
x + 2)^2 + 7 > 3)
בואי נקרא רגע לביטוי (x+2) בשם אחר, למשל y אז מה בעצם כתוב לנו פה
y^2 + 7 > 3
נפשט אותו רק קצת, נחסר 7 משני האגפים
y^2 > -4
ובכן קיבלנו אי שוויון שקול, מתי מספר כלשהו בריבוע גדול ממספר שלילי - ובכן זה מתקיים תמיד מכיוון שאם ניקח כל מספר ונעלה אותו בריבוע התוצאה תהיה חיובית או יותר נכון אי שלילית (לא שלילית), ולכן עבור כל y אי השוויון מתקיים. נזכור ש- y = x + 2
ולכן עבור כל x+2 אי השוויון יתקיים, כלומר עבור כל x אי השוויון יתקיים.
הדרך הזאת אמנם קצרה יותר אך לא ניתן לפתור בעזרת תמיד, זאת דרך ספציפית העומדת בתנאים מסוימים של התרגיל, וצריך ניסיון כדי למצוא דרכים כאלו.
בכל מקרה אני מקווה שאת עכשיו יודעת קצת יותר איך לפתור אי שוויונות ריבועיים, בכל מקרה אני מציע לך לחזור טוב על הנושא של פישוט משוואות ואי שוויונות (שקילויות), פונקציות וכל מה שאת לא מרגישה נוח לגביו, הבסיס המתמטי מאוד חשוב מכיוון שגם בשאלות אלגבריות עלולים להיתקל בפונקציות, כמעט כל הנושאים במתמטיקה קשורים אחד לשני ויש לדעת טוב את ההגדרות והמושגים, אחרי שיודעים אותם הכל נהיה הרבה יותר פשוט ולא צריך לזכור דבר, רק לפעול לפיהם.
בהצלחה !
^
x^2 + 2x + 4 + 7 > 3
זו טעות זה 4x.
x^2 + 2x + 4 + 7 > 3
זו טעות זה 4x.
תודה, תיקנתי.
שואל השאלה:
תודה רבה!!!
תודה רבה!!!
שואל השאלה:
כן^^
תודה רבה
כן^^
תודה רבה
אנונימית
האם זהו האי שוויון:
x + 2)^2 + 7 > 3)
אם כן אפתור אותה.
x + 2)^2 + 7 > 3)
אם כן אפתור אותה.
באותו הנושא: