6 תשובות
תשלחי לי הודעה בפרטי אני אנסה
שואל השאלה:
פרבולה
פרבולה
אנונימית
הפונקציה היא
f(x) = x^2 + 7x - 36
תחום ההגדרה הוא כל מספר ממשי מכיוון שאין ערכים עבורם תהיה בעיה בביטוי שבו הפונקציה מוגדרת (תהיה בעיה בתחום ההגדרה רק כאשר הפונקציה מוגדרת על ידי ביטוי שמכיל את המשתנה תחת שורש מסדר זוגי או כאשר המשתנה יהיה במכנה של שבר)
נקודות חיתוך עם הצירים:
נתחיל עם נקודת החיתוך על ציר y, יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת (יכול להיות שלא תהיה אפילו אחת כאשר הפונקציה אינה מוגדרת ב x = 0), לא יכולות להיות שתי נקודות חיתוך מכיוון שלפי ההגדרה של פונקציה לכל איבר בתחום מתאים איבר *יחיד* בטווח, ולכן לכל x בתחום ההגדרה מתאים y יחיד בטווח.
נקודת החיתוך עם ציר ה- y תתקבל רק
כאשר x = 0 מכיוון שזה המשותף לכל נקודה שנמצאת על ציר y עצמו, כלומר הנקודה תהיה מהצורה (n = (0,y
נציב x = 0 בפונקציה ונקבל
f(0) = (0)^2 +7(0) - 36
כלומר f(0) = 36
ובאופן כללי אם הפונקציה היא פולינום שהאיבר החופשי שלו (איבר חופשי אינו תלוי ב- x) הוא a אז נקודת החיתוך עם ציר y היא (n = (0,a
נקודות החיתוך עם ציר x, לפולינום ממעלה n יש לכל היותר n נקודות חיתוך עם ציר x. מעלת הפולינום בשאלה היא 2 מכיוון שמופיע בו חזקה 2 כי x^2 שם ולכן יהיו לכל היותר 2 נקודות חיתוך עם ציר x, נמצא אותן. המשותף לכל נקודה על ציר ה- x היא שערך ה- y שלהן הוא אפס, כלומר כל נקודה שבה הפונקציה חותכת את ציר ה- x תהיה מהצורה (m = (x,0
על מנת למצוא מהו x של כל נקודה נציב במשוואת הפרבולה y = 0 ונקבל
x^2 + 7x - 36 = 0
זוהי משוואה ריבועית, יש הרבה מאוד דרכים לפתור אותה, אפשר לפתור על ידי ניחוש, נוסחאות וייטה, או נוסחה למציאת השורשים לפולינום ממעלה 2, בכל מקרה הפתרונות שיתקבלו הם לא מאוד יפים, בדרך כלל התרגילים בתיכון מהונדסים כך שיתקבלו מספרים שלמים אך פה זה לא המקרה (ואולי רצוי שתבדקי שכתבת את הפונקציה בצורה נכונה)
נקבל בערך x = -10.44 ו- x = 3.44
ולכן נקודות החיתוך הן
(m1 = (-10.44,0
(m2 = (3.44,0
תחומי חיוביות ושליליות: על מנת למצוא את התחומים האלה יש להבין את התנהגות הפונקציה מהסוג הפרבולה (פולינום ריבועי)
גרף הפונקציה יהיה לפי שם הפונקציה בצורה פרבולית (צורה בגיאומטריה, כמו שיש מעגל, ריבוע, משולש, יש צורה הנקראת פרבולה המקיימת תכונות מסוימות שלא ניכנס אליהם, בדיוק כמו שמעגל מקיים את התכונה "קבוצת כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק קבוע מנקודה מסויימת.") אני אצרף קישור לגרף של פרבולה, אך באופן כללי הוא מתאפיין בכך שיש נקודה יחידה שהיא הקודקוד ואם נעביר ישר אנכי העובר בנקודת הקודקוד אז ישר זה יהיה ציר הסימטריה של הפרבולה, כלומר כל נקודה של הפרבולה הנמצאת מצד אחד לישר תופיע כתמונת ראי בצידו השני, בנוסף כאשר המקדם של x^2 חיובי, נקבל פרבולה ישרה (יש האומרים פרבולה מחייכת או צוחקת) ואם המקדם שלילי נקבל פרבולה הפוכה (יש האומרים פרבולה עצובה או בוכה), הפרבולה בתרגיל היא פרבולה ישרה, כלומר מחייכת והיא חותכת את הציר בשתי נקודות, כלומר הדרך היחידה שניתן לצייר אותה היא כאשר הקודקוד שלה נמצא מתחת לציר x, (תנסי לצייר אותה מעל הציר ותראי שזה לא אפשרי) ולכן התחום שבו הפרבולה שלילית יהיה בין ערכי ה- x של נקודות החיתוך עם ציר ה- x ותהיה חיובית לפני נקודת החיתוך הראשונה ואחרי נקודת החיתוך השנייה.
על מנת לחשב את איקס קודקוד יש או לגזור את הפונקציה (אך אניח שלא למדת נגזרות) או להשתמש בנוסחה (אני אישית לא אוהב להשתמש בנוסחה נתונה מכיוון שאין הבנה מדוע היא פועלת) אני אתן הסבר קצר לנוסחה ואז ארשום אותה.
ראשית נבין מהי הפונקציה הפרבולה
מהצורה f(x) = x^2
היא דיי דומה לפונקציה בתרגיל בתיאור גרפי, אך שונה במיקומה, קל לראות על ידי בדיקה קלה שנקודת הקודקוד של x^2 היא (0,0)
כל פרבולה אחרת, תהיה הזזה שלה, אם נסתכל על הפרבולה f(x) = x^2 + 1 למשל נבין שהיא הזזה של x^2 ביחידה אחת מעלה, והפרבולה f(x) = (x-1)^2 כלומר אם נפתח סוגריים נקבל x^2 - 2x + 1
היא הזזה של x^2 ימינה ביחידה אחת.
באופן כללי כל פולינום ריבועי הוא הזזה של x^2 וכך גם הפרבולה שבתרגיל, על ידי ביצוע פעולות אלגברה על הפרבולה שבתרגיל ניתן לראות בדיוק את ההזזה ואז להתאים את נקודת הקודקוד של הפרבולה שבתרגיל לפרבולה x^2 ולגלות היכן נמצאת נקודת הקודקוד ביחס לפרבולה x^2, כלומר להבין איך הזזנו את x^2 וקיבלנו את הפרבולה שבתרגיל, אם למשל נגלה שהפרבולה שבתרגיל היא הזזה של הפרבולה x^2 שתי יחידות למטה ויחידה אחת ימינה אז כך גם הוזזה נקודת הקודקוד שהייתה בנקודה (0,0) ואז לאחר ההזזה היא תהיה בנקודה (2-,1) כי הזזה ימינה/שמאלה זה שינוי ערך ה- x והזזה מעלה/מטה זה שינוי ערך ה- y. אם תרצי אשמח להרחיב על כך במקרה הצורך. בכל מקרה ערך ה- x של נקודת הקודקוד של פרבולה כללית מהצורה
f(x) = ax^2 + bx + c נתון על ידי הנוסחה
(x = -b/(2a
בדרך כלל במתמטיקה כאשר נתקלים בנוסחה לא מוסברת רצוי ליישם אותה על דוגמאות פשוטות כדי לראות ולהאמין שהיא אכן נכונה, אז במקרה שבו הפונקציה היא f(x) = x^2 אז a = 1 ו- b,c הם 0 ואז אם נציב בנוסחה ונקבל ש- x קודקוד הוא 0 וזה אכן נכון, נציב כעת את ערכי הפונקציה שבתרגיל,
a = 1, b = 7 , נשים לב ש- c לא מופיע בנוסחה ולכן זה לא משנה, זאת מכיוון ש- c הוא ההזזה כלפי מעלה\מטה של הפונקציה וזה לא משנה את ערך ה- x של הקודקוד (את מוזמנת לצייר פרבולה ולראות שהזזה כלפי מעלה לא משנה את x ) לאחר הצבה נקבל שערך ה- x של הקודקוד הוא 7/2- כלומר 3.5-
על מנת למצוא את ערך ה- y יש פשוט להציב בפונקציה לקבל אותו.
אם יש צורך בהסבר נוסף אשמח לעזור ולהרחיב.
בהצלחה !
f(x) = x^2 + 7x - 36
תחום ההגדרה הוא כל מספר ממשי מכיוון שאין ערכים עבורם תהיה בעיה בביטוי שבו הפונקציה מוגדרת (תהיה בעיה בתחום ההגדרה רק כאשר הפונקציה מוגדרת על ידי ביטוי שמכיל את המשתנה תחת שורש מסדר זוגי או כאשר המשתנה יהיה במכנה של שבר)
נקודות חיתוך עם הצירים:
נתחיל עם נקודת החיתוך על ציר y, יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת (יכול להיות שלא תהיה אפילו אחת כאשר הפונקציה אינה מוגדרת ב x = 0), לא יכולות להיות שתי נקודות חיתוך מכיוון שלפי ההגדרה של פונקציה לכל איבר בתחום מתאים איבר *יחיד* בטווח, ולכן לכל x בתחום ההגדרה מתאים y יחיד בטווח.
נקודת החיתוך עם ציר ה- y תתקבל רק
כאשר x = 0 מכיוון שזה המשותף לכל נקודה שנמצאת על ציר y עצמו, כלומר הנקודה תהיה מהצורה (n = (0,y
נציב x = 0 בפונקציה ונקבל
f(0) = (0)^2 +7(0) - 36
כלומר f(0) = 36
ובאופן כללי אם הפונקציה היא פולינום שהאיבר החופשי שלו (איבר חופשי אינו תלוי ב- x) הוא a אז נקודת החיתוך עם ציר y היא (n = (0,a
נקודות החיתוך עם ציר x, לפולינום ממעלה n יש לכל היותר n נקודות חיתוך עם ציר x. מעלת הפולינום בשאלה היא 2 מכיוון שמופיע בו חזקה 2 כי x^2 שם ולכן יהיו לכל היותר 2 נקודות חיתוך עם ציר x, נמצא אותן. המשותף לכל נקודה על ציר ה- x היא שערך ה- y שלהן הוא אפס, כלומר כל נקודה שבה הפונקציה חותכת את ציר ה- x תהיה מהצורה (m = (x,0
על מנת למצוא מהו x של כל נקודה נציב במשוואת הפרבולה y = 0 ונקבל
x^2 + 7x - 36 = 0
זוהי משוואה ריבועית, יש הרבה מאוד דרכים לפתור אותה, אפשר לפתור על ידי ניחוש, נוסחאות וייטה, או נוסחה למציאת השורשים לפולינום ממעלה 2, בכל מקרה הפתרונות שיתקבלו הם לא מאוד יפים, בדרך כלל התרגילים בתיכון מהונדסים כך שיתקבלו מספרים שלמים אך פה זה לא המקרה (ואולי רצוי שתבדקי שכתבת את הפונקציה בצורה נכונה)
נקבל בערך x = -10.44 ו- x = 3.44
ולכן נקודות החיתוך הן
(m1 = (-10.44,0
(m2 = (3.44,0
תחומי חיוביות ושליליות: על מנת למצוא את התחומים האלה יש להבין את התנהגות הפונקציה מהסוג הפרבולה (פולינום ריבועי)
גרף הפונקציה יהיה לפי שם הפונקציה בצורה פרבולית (צורה בגיאומטריה, כמו שיש מעגל, ריבוע, משולש, יש צורה הנקראת פרבולה המקיימת תכונות מסוימות שלא ניכנס אליהם, בדיוק כמו שמעגל מקיים את התכונה "קבוצת כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק קבוע מנקודה מסויימת.") אני אצרף קישור לגרף של פרבולה, אך באופן כללי הוא מתאפיין בכך שיש נקודה יחידה שהיא הקודקוד ואם נעביר ישר אנכי העובר בנקודת הקודקוד אז ישר זה יהיה ציר הסימטריה של הפרבולה, כלומר כל נקודה של הפרבולה הנמצאת מצד אחד לישר תופיע כתמונת ראי בצידו השני, בנוסף כאשר המקדם של x^2 חיובי, נקבל פרבולה ישרה (יש האומרים פרבולה מחייכת או צוחקת) ואם המקדם שלילי נקבל פרבולה הפוכה (יש האומרים פרבולה עצובה או בוכה), הפרבולה בתרגיל היא פרבולה ישרה, כלומר מחייכת והיא חותכת את הציר בשתי נקודות, כלומר הדרך היחידה שניתן לצייר אותה היא כאשר הקודקוד שלה נמצא מתחת לציר x, (תנסי לצייר אותה מעל הציר ותראי שזה לא אפשרי) ולכן התחום שבו הפרבולה שלילית יהיה בין ערכי ה- x של נקודות החיתוך עם ציר ה- x ותהיה חיובית לפני נקודת החיתוך הראשונה ואחרי נקודת החיתוך השנייה.
על מנת לחשב את איקס קודקוד יש או לגזור את הפונקציה (אך אניח שלא למדת נגזרות) או להשתמש בנוסחה (אני אישית לא אוהב להשתמש בנוסחה נתונה מכיוון שאין הבנה מדוע היא פועלת) אני אתן הסבר קצר לנוסחה ואז ארשום אותה.
ראשית נבין מהי הפונקציה הפרבולה
מהצורה f(x) = x^2
היא דיי דומה לפונקציה בתרגיל בתיאור גרפי, אך שונה במיקומה, קל לראות על ידי בדיקה קלה שנקודת הקודקוד של x^2 היא (0,0)
כל פרבולה אחרת, תהיה הזזה שלה, אם נסתכל על הפרבולה f(x) = x^2 + 1 למשל נבין שהיא הזזה של x^2 ביחידה אחת מעלה, והפרבולה f(x) = (x-1)^2 כלומר אם נפתח סוגריים נקבל x^2 - 2x + 1
היא הזזה של x^2 ימינה ביחידה אחת.
באופן כללי כל פולינום ריבועי הוא הזזה של x^2 וכך גם הפרבולה שבתרגיל, על ידי ביצוע פעולות אלגברה על הפרבולה שבתרגיל ניתן לראות בדיוק את ההזזה ואז להתאים את נקודת הקודקוד של הפרבולה שבתרגיל לפרבולה x^2 ולגלות היכן נמצאת נקודת הקודקוד ביחס לפרבולה x^2, כלומר להבין איך הזזנו את x^2 וקיבלנו את הפרבולה שבתרגיל, אם למשל נגלה שהפרבולה שבתרגיל היא הזזה של הפרבולה x^2 שתי יחידות למטה ויחידה אחת ימינה אז כך גם הוזזה נקודת הקודקוד שהייתה בנקודה (0,0) ואז לאחר ההזזה היא תהיה בנקודה (2-,1) כי הזזה ימינה/שמאלה זה שינוי ערך ה- x והזזה מעלה/מטה זה שינוי ערך ה- y. אם תרצי אשמח להרחיב על כך במקרה הצורך. בכל מקרה ערך ה- x של נקודת הקודקוד של פרבולה כללית מהצורה
f(x) = ax^2 + bx + c נתון על ידי הנוסחה
(x = -b/(2a
בדרך כלל במתמטיקה כאשר נתקלים בנוסחה לא מוסברת רצוי ליישם אותה על דוגמאות פשוטות כדי לראות ולהאמין שהיא אכן נכונה, אז במקרה שבו הפונקציה היא f(x) = x^2 אז a = 1 ו- b,c הם 0 ואז אם נציב בנוסחה ונקבל ש- x קודקוד הוא 0 וזה אכן נכון, נציב כעת את ערכי הפונקציה שבתרגיל,
a = 1, b = 7 , נשים לב ש- c לא מופיע בנוסחה ולכן זה לא משנה, זאת מכיוון ש- c הוא ההזזה כלפי מעלה\מטה של הפונקציה וזה לא משנה את ערך ה- x של הקודקוד (את מוזמנת לצייר פרבולה ולראות שהזזה כלפי מעלה לא משנה את x ) לאחר הצבה נקבל שערך ה- x של הקודקוד הוא 7/2- כלומר 3.5-
על מנת למצוא את ערך ה- y יש פשוט להציב בפונקציה לקבל אותו.
אם יש צורך בהסבר נוסף אשמח לעזור ולהרחיב.
בהצלחה !
קישורים מצורפים:
שואל השאלה:
וואו תודה רבה !!
וואו תודה רבה !!
אנונימית
כי אם פרבולה אני יכולה לעזור לך
זאת פונקציה או פרבולה?
באותו הנושא: