2 תשובות
בסדרה חשבונית יש מספר זוגי של איברים, כלומר יש 2n איברים עבור n כלשהו.
במתמטיקה מומלץ לחשוב באמצעות דוגמאות, למשל נניח שבסדרה יש 20 איברים, ואז n=10 .
ואז מספר האיברים הזוגיים הוא n וכך גם מספר האיברים האי-זוגיים.
הסדרה המקורית מוגדרת על ידי הפרש d כלשהו ולכן הסדרה הזוגית תוגדר עם הפרש 2d וכך גם סדרת האי-זוגיים.
סדרת הזוגיים תתחיל מ- a2 וסדרת האי-זוגיים תתחיל מ- a1
כעת נחשב את סכום הסדרות הזוגיים והאי זוגיים
עבור סדרת האי זוגיים
איבר ראשון a1
הפרש 2d
מספר איברים n
סכום m איברים בסדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה b1 והפרשה t הוא:
[sm = t/2 * [2b1+(m-1)t
בכוונה השתמשי בסימונים שונים על מנת לא לבלבל.
נציב את הנתונים שלנו בנוסחה ונקבל
[sn = n/2 * [2a1+(n-1)2d
כאמור סכום זה שווה ל- 100 לפי הנתון ולכן נקבל
עבור סדרת האי הזוגיים
איבר ראשון a2
הפרש 2d
מספר איברים n
אני מציע לך לנסות להמשיך ואם לא תסתדרי אז אמשיך את הפתרון
בכל מקרה אם את נתקעת אני מציע לך גם לקחת דוגמה מוחשית לסדרה ולפעול בתרגיל כפי שהיית פועלת בסדרה נתונה, זה הרבה יותר קל ופשוט ומונע הרבה מאוד טעויות.
בהצלחה !
במתמטיקה מומלץ לחשוב באמצעות דוגמאות, למשל נניח שבסדרה יש 20 איברים, ואז n=10 .
ואז מספר האיברים הזוגיים הוא n וכך גם מספר האיברים האי-זוגיים.
הסדרה המקורית מוגדרת על ידי הפרש d כלשהו ולכן הסדרה הזוגית תוגדר עם הפרש 2d וכך גם סדרת האי-זוגיים.
סדרת הזוגיים תתחיל מ- a2 וסדרת האי-זוגיים תתחיל מ- a1
כעת נחשב את סכום הסדרות הזוגיים והאי זוגיים
עבור סדרת האי זוגיים
איבר ראשון a1
הפרש 2d
מספר איברים n
סכום m איברים בסדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה b1 והפרשה t הוא:
[sm = t/2 * [2b1+(m-1)t
בכוונה השתמשי בסימונים שונים על מנת לא לבלבל.
נציב את הנתונים שלנו בנוסחה ונקבל
[sn = n/2 * [2a1+(n-1)2d
כאמור סכום זה שווה ל- 100 לפי הנתון ולכן נקבל
עבור סדרת האי הזוגיים
איבר ראשון a2
הפרש 2d
מספר איברים n
אני מציע לך לנסות להמשיך ואם לא תסתדרי אז אמשיך את הפתרון
בכל מקרה אם את נתקעת אני מציע לך גם לקחת דוגמה מוחשית לסדרה ולפעול בתרגיל כפי שהיית פועלת בסדרה נתונה, זה הרבה יותר קל ופשוט ומונע הרבה מאוד טעויות.
בהצלחה !
סדרה חשבונית
------------------------
2n איברים(סימון)
i. s*n = 100
ii. s**n = 120
iii. a 2n = a1 + 38
2n = ?
נסמן- הפרש: d
כאשר לוקחים בסדרה חשבונית עם מס' זוגי של איברים רק את האיברים במקומות הזוגיים או רק את האיברים במקומות האי-זוגיים, אז נוצרת סדרה חשבונית חדשה עם הפרש שגדול פי 2 מהסדרה המקורית(2d) ועם מס' איברים שקטן פי 2 ממס' האיברים בסדרה המקורית(2n/2=n).
באיברים שבמקומות האי-זוגיים האיבר הראשון הוא a1 ובאיברים שבמקומות הזוגיים האיבר הראשון הוא a2.
נעזר בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
[s n = n/2 * [2a1 + (n-1)*d
ובנוסחה למציאת איבר כללי בסדרה חשבונית:
a n = a1 + (n-1)*d
כדי לפתור את מערכת המשוואות הנ"ל:
i. n/2*[2a1 + (n-1)*2d] = 100
ii. n/2[2a2 + (n-1)*2d] = 120
iii. a1 + (2n-1)*d = a1 + 38
במשוואת i ו ii נצמצם את ה 2 במכנה עם הביטויים שבסוגריים, במשוואה iii ה a1 נופל:
i. n[a1 + (n-1)*d] = 100
ii. n[a2 + (n-1)*d] = 120
iii. (2n-1)*d = 38
i. n[a1 + nd - d] = 100
ii. n[a1 + d + nd - d] = 120
iii. (2n-1)*d = 38
i. n[a1 + nd - d] = 100
ii. n[a1 + nd] = 120
iii. (2n-1)*d = 38
i. n*a1 + n^2*d - nd = 100
ii. n*a1 + n^2*d = 120
נחסר את משוואה i ממשוואה ii:
n*a1-n*a1+n^2*d-n^2*d+0-(-nd) = 120-100
nd = 20
d = 20/n.
נציב d = 20/n במשוואה iii:
iii. (2n-1)*(20/n) = 38
iii. (40n-20)/n = 38 \*n
iii. 40n - 20 = 38n
2n = 20
בסדרה יש 20 איברים
------------------------
2n איברים(סימון)
i. s*n = 100
ii. s**n = 120
iii. a 2n = a1 + 38
2n = ?
נסמן- הפרש: d
כאשר לוקחים בסדרה חשבונית עם מס' זוגי של איברים רק את האיברים במקומות הזוגיים או רק את האיברים במקומות האי-זוגיים, אז נוצרת סדרה חשבונית חדשה עם הפרש שגדול פי 2 מהסדרה המקורית(2d) ועם מס' איברים שקטן פי 2 ממס' האיברים בסדרה המקורית(2n/2=n).
באיברים שבמקומות האי-זוגיים האיבר הראשון הוא a1 ובאיברים שבמקומות הזוגיים האיבר הראשון הוא a2.
נעזר בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
[s n = n/2 * [2a1 + (n-1)*d
ובנוסחה למציאת איבר כללי בסדרה חשבונית:
a n = a1 + (n-1)*d
כדי לפתור את מערכת המשוואות הנ"ל:
i. n/2*[2a1 + (n-1)*2d] = 100
ii. n/2[2a2 + (n-1)*2d] = 120
iii. a1 + (2n-1)*d = a1 + 38
במשוואת i ו ii נצמצם את ה 2 במכנה עם הביטויים שבסוגריים, במשוואה iii ה a1 נופל:
i. n[a1 + (n-1)*d] = 100
ii. n[a2 + (n-1)*d] = 120
iii. (2n-1)*d = 38
i. n[a1 + nd - d] = 100
ii. n[a1 + d + nd - d] = 120
iii. (2n-1)*d = 38
i. n[a1 + nd - d] = 100
ii. n[a1 + nd] = 120
iii. (2n-1)*d = 38
i. n*a1 + n^2*d - nd = 100
ii. n*a1 + n^2*d = 120
נחסר את משוואה i ממשוואה ii:
n*a1-n*a1+n^2*d-n^2*d+0-(-nd) = 120-100
nd = 20
d = 20/n.
נציב d = 20/n במשוואה iii:
iii. (2n-1)*(20/n) = 38
iii. (40n-20)/n = 38 \*n
iii. 40n - 20 = 38n
2n = 20
בסדרה יש 20 איברים