4 תשובות
א) תחום הגדרה - משווים את המכנה לאפס ופותרים, הפתרונות שיצאו הם האיקסים שעבורם הפונקציה אינה מוגדרת
ב) נקודות קיצון וסיווגן - גוזרים לפי כלל הנגזרת של מנה-
f/g)' = (f' * g - g' * f)/g^2)
ומשווים לאפס, אח"כ מציבים את האיקסים שיצאו בפונקציה כדי לקבל את שיעורי ה y של נק' הקיצון(כמובן שפוסלים איקסים שלא נמצאים בתחום ההגדרה). את סוג נקודות הקיצון ניתן לקבוע בסעיף הבא(תחומי עלייה וירידה)
ג) תחומי עלייה וירידה - עושים טבלה של ערכי האיקס לפי הסדר המספרי שלהם - האיקסים של נקודות הקיצון והאיקסים שעבורם הפונקציה אינה מוגדרת. מציבים בין כל שני ערכי x כאלה ערך x כלשהו בנגזרת ובודקים אם היא חיובית או שלילית - אם הנגזרת החיובית, אז בתחום זה מתרחשת עלייה
- אם הנגזרת שלילית אז בתחום זה מתרחשת ירידה.
בשיעורי האיקס של נקודות הקיצון, אם לפני מתרחשת עלייה ואחרי ירידה, אז נקודת הקיצון היא מסוג מקסימום.
אם לפני מתרחשת ירידה ואחרי עלייה, אז נקודת הקיצון היא מסוג מינימום.
ד) חיתוך עם הצירים
- חיתוך עם ציר x: משווים את הפונקציה ל-0 ופותרים. כמובן שפוסלים איקסים שלא נמצאים בתחום ההגדרה
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 בפונקציה. כמובן שבמידה ו x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה, אז אין חיתוך עם ציר y.
ה) אסימפטוטות מאונכות לצירים:
אסימפטוטות אנכיות - הן בדר"כ האיקסים שלא נמצאים בתחום ההגדרה, פרט למקרה שבו יש איקס/ים שמאפס/ים גם את המונה וגם את המכנה, זה סימן לכך שהפונקציה ניתנת לצמצום, ואז יש לה נקודת אי-רציפות סליקה("חור") במקום אסימפטוטה אנכית. במידה וזה קורה, יש לבדוק איך הפונקציה יכולה להצטמצם, ולהציב את האיקס שאיפס גם את המונה וגם את המכנה של הפונקציה לפני שהיא הצטמצה כדי למצוא את שיעורי נקודת האי-רציפות סליקה(כמובן שזה עדיין אומר שהפונקציה עדיין אינה מוגדרת עבור אותו איקס של נקודת אי-רציפות הסליקה).
אסימפטוטה אופקית- מחלקים את המונה והמכנה בחזקה הגבוהה ביותר שמופיעה ומשאיפים את איקס לאינסוף.
דוגמה:
y = lim (x^2 + 1)/x^3
x----->אינסוף
החזקה גבוהה כאן היא x^3, לכן נחלק גם את המונה וגם את המכנה בחזקה הגבוהה, נקבל במונה: (x^2 + 1)/x^3 =
x^2/x^3 + 1/x^3
משום שגם באיקס בריבוע חלקי איקס בשלישית וגם ב 1 חלקי איקס בשלישית החזקה של המכנה קטנה יותר, שניהם יהיו אפס, ואז התוצאה במונה של השבר הגדול היא 0.
במכנה: x^3/x^3
החזקה של המונה והחזקה של המכנה הוא אותו דבר, לכן עושים פה יחס בין המקדמים, במקרה הזה זה: 1/1 = 1. ואז התוצאה במכנה של השבר הגדול היא 1.
ואז האסימטפטוטה האופקית היא:
y = 0/1 = 0
ו) שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה-
מציירים לפי איך שחקרנו את הפונקציה, מסמנים את נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם הצירים על מערכת הצירים, ובנוסף מסמנים גם את האסימטפטוטות האנכיות והאופקיות. במידה ויש נקודת אי-רציפות סליקה יש לסמן אותה על הגרף.
ואז דואגים לשרטט כפי שחקרנו-
דואגים שאיפה שמצאנו שיש עלייה תהיה עלייה, ושאיפה שמצאנו שיש ירידה תהיה ירידה, ושנקודות הקיצון שמצאנו אכן יהיו מקסימום/מינימום(כמו שסיווגנו). ובנוסף מוודאים שהפונקציה עוברת דרך נקודות החיתוך שמצאנו עם הצירים.
במידה ויש עלייה או ירידה לפני אסימפטוטה אנכית, הפונקציה תעלה או תרד ותשאף לאסימפטוטה האנכית, אך לא תחתוך אותה.
באסימפטוטה אופקית אם יש עלייה או ירידה מעל או מתחת, אז הפונקציה תשאף לאסימפטוטה האופקית, ולא תחתוך אותה. אך יש לשים לב שאסימפטוטה אופקית היא לא כמו אסימפטוטה אנכית, ואותה מותר לחתוך. לכן קיימים מקרים שהפונקציה תחתוך את האסימפטוטה האופקית, אך לא קיימים מקרים שבהם הפונקציה תחתוך את אסימפטוטה אנכית.
ב) נקודות קיצון וסיווגן - גוזרים לפי כלל הנגזרת של מנה-
f/g)' = (f' * g - g' * f)/g^2)
ומשווים לאפס, אח"כ מציבים את האיקסים שיצאו בפונקציה כדי לקבל את שיעורי ה y של נק' הקיצון(כמובן שפוסלים איקסים שלא נמצאים בתחום ההגדרה). את סוג נקודות הקיצון ניתן לקבוע בסעיף הבא(תחומי עלייה וירידה)
ג) תחומי עלייה וירידה - עושים טבלה של ערכי האיקס לפי הסדר המספרי שלהם - האיקסים של נקודות הקיצון והאיקסים שעבורם הפונקציה אינה מוגדרת. מציבים בין כל שני ערכי x כאלה ערך x כלשהו בנגזרת ובודקים אם היא חיובית או שלילית - אם הנגזרת החיובית, אז בתחום זה מתרחשת עלייה
- אם הנגזרת שלילית אז בתחום זה מתרחשת ירידה.
בשיעורי האיקס של נקודות הקיצון, אם לפני מתרחשת עלייה ואחרי ירידה, אז נקודת הקיצון היא מסוג מקסימום.
אם לפני מתרחשת ירידה ואחרי עלייה, אז נקודת הקיצון היא מסוג מינימום.
ד) חיתוך עם הצירים
- חיתוך עם ציר x: משווים את הפונקציה ל-0 ופותרים. כמובן שפוסלים איקסים שלא נמצאים בתחום ההגדרה
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 בפונקציה. כמובן שבמידה ו x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה, אז אין חיתוך עם ציר y.
ה) אסימפטוטות מאונכות לצירים:
אסימפטוטות אנכיות - הן בדר"כ האיקסים שלא נמצאים בתחום ההגדרה, פרט למקרה שבו יש איקס/ים שמאפס/ים גם את המונה וגם את המכנה, זה סימן לכך שהפונקציה ניתנת לצמצום, ואז יש לה נקודת אי-רציפות סליקה("חור") במקום אסימפטוטה אנכית. במידה וזה קורה, יש לבדוק איך הפונקציה יכולה להצטמצם, ולהציב את האיקס שאיפס גם את המונה וגם את המכנה של הפונקציה לפני שהיא הצטמצה כדי למצוא את שיעורי נקודת האי-רציפות סליקה(כמובן שזה עדיין אומר שהפונקציה עדיין אינה מוגדרת עבור אותו איקס של נקודת אי-רציפות הסליקה).
אסימפטוטה אופקית- מחלקים את המונה והמכנה בחזקה הגבוהה ביותר שמופיעה ומשאיפים את איקס לאינסוף.
דוגמה:
y = lim (x^2 + 1)/x^3
x----->אינסוף
החזקה גבוהה כאן היא x^3, לכן נחלק גם את המונה וגם את המכנה בחזקה הגבוהה, נקבל במונה: (x^2 + 1)/x^3 =
x^2/x^3 + 1/x^3
משום שגם באיקס בריבוע חלקי איקס בשלישית וגם ב 1 חלקי איקס בשלישית החזקה של המכנה קטנה יותר, שניהם יהיו אפס, ואז התוצאה במונה של השבר הגדול היא 0.
במכנה: x^3/x^3
החזקה של המונה והחזקה של המכנה הוא אותו דבר, לכן עושים פה יחס בין המקדמים, במקרה הזה זה: 1/1 = 1. ואז התוצאה במכנה של השבר הגדול היא 1.
ואז האסימטפטוטה האופקית היא:
y = 0/1 = 0
ו) שרטוט סקיצה של גרף הפונקציה-
מציירים לפי איך שחקרנו את הפונקציה, מסמנים את נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם הצירים על מערכת הצירים, ובנוסף מסמנים גם את האסימטפטוטות האנכיות והאופקיות. במידה ויש נקודת אי-רציפות סליקה יש לסמן אותה על הגרף.
ואז דואגים לשרטט כפי שחקרנו-
דואגים שאיפה שמצאנו שיש עלייה תהיה עלייה, ושאיפה שמצאנו שיש ירידה תהיה ירידה, ושנקודות הקיצון שמצאנו אכן יהיו מקסימום/מינימום(כמו שסיווגנו). ובנוסף מוודאים שהפונקציה עוברת דרך נקודות החיתוך שמצאנו עם הצירים.
במידה ויש עלייה או ירידה לפני אסימפטוטה אנכית, הפונקציה תעלה או תרד ותשאף לאסימפטוטה האנכית, אך לא תחתוך אותה.
באסימפטוטה אופקית אם יש עלייה או ירידה מעל או מתחת, אז הפונקציה תשאף לאסימפטוטה האופקית, ולא תחתוך אותה. אך יש לשים לב שאסימפטוטה אופקית היא לא כמו אסימפטוטה אנכית, ואותה מותר לחתוך. לכן קיימים מקרים שהפונקציה תחתוך את האסימפטוטה האופקית, אך לא קיימים מקרים שבהם הפונקציה תחתוך את אסימפטוטה אנכית.
בשימחה ❤
שואל השאלה:
תודה רבה!!!
תודה רבה!!!
אנונימי
סיכומים במתמטיקה? חח מתי זה קיים?
יש לי את כל דרכי הגזירה אם זה יעזור לך, אבל כל השאר זה רק תירגול ע"פ כל שלבי החקירה:
1) מציאת תחום הגדרה - המכנה לא שווה לאפס
2) נקודות חיתוך עם הצירים - ציר y: x=0, ציר x:y =0
3) מציאת נקודות קיצון - לגזור, להשוות לאפס, לגזור שוב ולראות אם הנקודה פלוס: מינמום, ואם מינוס: מקסימום, או באמצעות טבלת ערכים. ואז מציאת שיעור הy של אותה נקודה באמצעות הצבת הx בפ' המקורית.
4) מציאת אסימפטוטות - אופקית או אנכית. אנכית - ע"פ תחום ההגדרה, אופקית - השאפת הפונקצייה לאין-סוף.
5) שירטוט גרף הפונקצייה - לא לשכוח אס', נקודות חיתוך וקיצון.
אם תרצה הסבר רחב יותר רק תגיד :)
וזה כל דרכי הגזירה שהזכרתי:
יש לי את כל דרכי הגזירה אם זה יעזור לך, אבל כל השאר זה רק תירגול ע"פ כל שלבי החקירה:
1) מציאת תחום הגדרה - המכנה לא שווה לאפס
2) נקודות חיתוך עם הצירים - ציר y: x=0, ציר x:y =0
3) מציאת נקודות קיצון - לגזור, להשוות לאפס, לגזור שוב ולראות אם הנקודה פלוס: מינמום, ואם מינוס: מקסימום, או באמצעות טבלת ערכים. ואז מציאת שיעור הy של אותה נקודה באמצעות הצבת הx בפ' המקורית.
4) מציאת אסימפטוטות - אופקית או אנכית. אנכית - ע"פ תחום ההגדרה, אופקית - השאפת הפונקצייה לאין-סוף.
5) שירטוט גרף הפונקצייה - לא לשכוח אס', נקודות חיתוך וקיצון.
אם תרצה הסבר רחב יותר רק תגיד :)
וזה כל דרכי הגזירה שהזכרתי:
קישורים מצורפים:
באותו הנושא: