איך עושים נגזרת של שבר?

כואב לי רק מלהסתכל על זה

למטה בחזקה
ולמעלה נגזרת של מה שלמעלה כפול מהשלמטה פחות הנגזרת של מה שלמטה כפול מה שלמעלה

פונקציה (f(x שבה מופיע המשתנה x גם במכנה היא פונקציה מהצורה
(f(x) = g(x) / h(x
כאשר g,h הן פונקציות במשתנה x
הנגזרת של f תהיה
f'(x) = [g'(x)*h(x) - g(x)*h'(x)] / [h(x)]^2
נהוג פשוט לכתוב
f' = (g' * h - g * h')/ h^2
כאשר ברור שהפונקציות במשתנה x
כלומר נגזרת של פונקצית מנה שווה לנגזרת של המונה כפול המכנה פחות המונה כפול הנגזרת של המכנה ואת כל הביטוי הזה מחלקים במכנה בריבוע.
בדוג' שלך
f(x) = -x/4 - 4/x
נשים לב ש- f אינה פונקציית מנה אך מוגדרת מחיבור של שתי פונקציות
האחת g = -x/4
השניה h = -4/x
כלומר ניתן לכתוב f = g + f
וכאמור נגזרת של חיבור של פונקציות שווה לחיבור הנגזרות של כל פונקציה כלומר כדי לקבל את הנגזרת של f נגזור כל אחת מהפונקציות ונחבר אותן.
כלומר 'f' = g' + h
נשים לב שהפונקציה g היא לא באמת פונקציית מנה היא רק מתחזה לכזאת כיוון שהמשתנה לא נמצא במכנה, נוכל פשוט לכתוב
g = -1/4 * x
זאת פונקציה מהצורה c*x כאשר c הוא מספר כלשהו ולכן הנגזרת היא פשוט המקדם של x כלומר
g' = -1/4
h היא אכן פונקציית מנה כי המשתנה מופיע במכנה ולא ניתן לכתוב אותה בתור מספר קבוע כלשהו כפול x ולכן חייבים לגזור אותה לפי נגזרת של מנה של פונקציות כאשר הפונקציה במונה היא הפונקציה הקבועה 4- והפונקציה במכנה היא הפונקציה x
נקבל שנגזרתה היא
h = (0*x - (-4)*1) / x^2
כלומר
h' = 4/x^2
כעת נחבר את שתי הפונקציות שגזרנו על מנת למצוא את הנגזרת של הפונקציה המקורית f
f' = -1/4 + 4/x^2
וזאת הנגזרת,
תשימי לב שגם אם המשתנה לא נמצא במכנה כמו בפונקציה g עדיין ניתן לגזור לפי מנה, שכן g = -x/4 ואז פשוט ניתן להתייחס לפונקציה שבמונה בתור x- ולפונקציה שבמכנה כפונקציה הקבועה 4 ואז לגזור לפי מנה, אך זה מיותר כאן כי זאת סתם עבודה ועלול להוביל לטעויות, ומכיוון שיש דרך לגזור את g בצורה יותר נחמדה אז עדיף להשתמש בשיטה הזאת.
בהצלחה !

רצוי קודם כל לעשות מכנה משותף על מנת להקל על הגזירה:

x^2 - 16-
----------------- = f(x)
4x

(2x * 4x - 4(-x^2 - 16-
----------------------------------- = f'(x)
16x^2

8x^2 + 4x^2 + 64-
----------------------------- = f'(x)
16x^2

4x^2 + 64-
------------------- = f'(x)
16x^2

ניתן לצמצם ב-4:

x^2 + 16-
---------------- = f'(x)
4x^2