שני הפעלים האלו הם גזרת מרובעים? מְתַקְשֵׁר מִתְקַשֵּׁר

לא.
המילה הראשונה היא מלשון תיקשור - שזה ת.ק.ש.ר בבנין פיעל.
המילה השניה היא מלשון להתקשר - ק.ש.ר בבנין התפעל.