תשובה אחת
אני יכול לתת דוגמא נחמדה לפונקציה, ראשית לפי ההגדרה: יהיו שתי קבוצות האחת תיקרא התחום והשניה תיקרא הטווח, פונקציה היא כלל שמתאים לכל איבר בתחום איבר יחיד בטווח.
בבית הספר בדרך כלל פשוט נותנים משוואה, שזה רק חלק מהנתונים ומניחים שמבינים שמדובר בכל המספרים, אתן דוגמה מלאה לפונקציה, אך ראשית יש להגדיר את קבוצת התחום ואת קבוצת הטווח.
נגדיר את קבוצת התחום להיות תלמידי הכיתה
נגדיר את קבוצת הטווח להיות קבוצת הצבעים
נגדיר את הפונקציה להיות הכלל שמתאים לכל תלמיד צבע לפי צבע עיניו, לי למשל הפונקציה מתאימה את הצבע חום כהה.
ולכל תלמיד הפונקציה מתאימה צבע, שימי לב כי אכן מתקיים התנאי שלכל איבר בתחום קיים איבר יחיד בטווח, אלו בעצם שני תנאים:
1. לכל איבר בתחום - כלומר לכל תלמיד בכיתה יש צבע שמותאם לו, לא קיים תלמיד ללא צבע עיניים.
2. מתאים איבר יחיד בטווח - לכל תלמיד מתאים צבע יחיד ולא יכול להיות מצב שבו יותאמו לתלמיד שני צבעים שונים.
חשוב - ישנה תופעה שנראת הטרוכרומיה, שבה קשתית עין אחת היא בעלת צבע שונה מקשתית העין השנייה, כלומר לאנשים בעלי התופעה הזאת יש עיניים בעלי צבעים שונות.
אם קיימים כאלה תלמידים בכיתה אז השאלה שמתבקשת היא: איזה צבע הפונקציה תתאים להם, האם את הצבע בעין הימנית או שמה את הצבע שבעין השמאלית. התשובה היא שהפונקציה לא תהיה מוגדרת עליהם. היא לא תיפעל עליהם כי היא לא יכולה להתאים צבע יחיד כפי שהוגדרה. קיימים יצורים בטבע שיכולים להתאים שני צבעים אך הם לא נקראים פונקציות, יש להם שמות אחרים.
הפונקציות שלומדים בתיכון הן גם פונקציות כפי שהוגדרו למעלה, פשוט בדרך כלל לא מציינים את הקבוצות, מניחים שזה מובן מאליו שהקבוצות אלו המספרים הממשיים.
אתן דוגמה
נגיד את קבוצת התחום וקבוצת הטווח להיות כל המספרים הממשיים (2, פאי, 7/9 וכו')
נגדיר את הפונקציה להיות הכלל שמתאים לכל איבר בתחום איבר שגדול ממנו ב- 2 שנמצא בטווח. ובצורה יותר מתמטית מסמנית את הפונקציה ב- f מהמילה הלועזית פאנקטיון (function) איבר מהתחום יסומן ב- x ואיבר מהטווח יסומן ב- y ואז נוכל לכתוב f(x) = x + 2
ואז f(x) = y.
שוב, זאת פונקציה כיוון שהיא מקיימת את ההגדרה מלמעלה, תנאי 1 אומר כל איבר בתחום, ובאמת ניתן לכתוב כל איבר ממשי במקום x, ותנאי 2 אומר שמתאים איבר יחיד, וזה אכן מתקיים, כי למספר 2 מתאים המספר 4, ואין עוד מספר שמתאים לו, ולמספר 103 מתאים המספר 105 וזהו, ובאופן כללי למספר x מתאים המספר x + 2 ואין עוד מספר אחר שמתאים לו.
דוגמה למשהו שאיננו פונקציה
ניקח שוב את קבוצת התחום ואת קבוצת הטווח להיות כל המספרים הממשיים, אבל הפעם ניקח את הפונקציה להיות 2 חלקי איבר בתחום. כלומר f(x) = 2/x
עד כמה שזה מבלבל זאת איננה פונקציה כיוון שהתנאי הראשון אינו מתקיים, לפי התנאי הראשון כל איבר בתחום חייב להיות מותאם למישהו, אך התחום כפי שהגדרנו אותו כולל גם את המספר 0, אך אף מספר בטווח (הטווח - קבוצת כל המספרים הממשיים) לא מותאם לאפס, כי לא ניתן לחלק ב- 0, ולכן זאת איננה פונקציה.
אני מקווה שכעת נושא הפונקציות קצת יותר מובן.
בהצלחה !
בבית הספר בדרך כלל פשוט נותנים משוואה, שזה רק חלק מהנתונים ומניחים שמבינים שמדובר בכל המספרים, אתן דוגמה מלאה לפונקציה, אך ראשית יש להגדיר את קבוצת התחום ואת קבוצת הטווח.
נגדיר את קבוצת התחום להיות תלמידי הכיתה
נגדיר את קבוצת הטווח להיות קבוצת הצבעים
נגדיר את הפונקציה להיות הכלל שמתאים לכל תלמיד צבע לפי צבע עיניו, לי למשל הפונקציה מתאימה את הצבע חום כהה.
ולכל תלמיד הפונקציה מתאימה צבע, שימי לב כי אכן מתקיים התנאי שלכל איבר בתחום קיים איבר יחיד בטווח, אלו בעצם שני תנאים:
1. לכל איבר בתחום - כלומר לכל תלמיד בכיתה יש צבע שמותאם לו, לא קיים תלמיד ללא צבע עיניים.
2. מתאים איבר יחיד בטווח - לכל תלמיד מתאים צבע יחיד ולא יכול להיות מצב שבו יותאמו לתלמיד שני צבעים שונים.
חשוב - ישנה תופעה שנראת הטרוכרומיה, שבה קשתית עין אחת היא בעלת צבע שונה מקשתית העין השנייה, כלומר לאנשים בעלי התופעה הזאת יש עיניים בעלי צבעים שונות.
אם קיימים כאלה תלמידים בכיתה אז השאלה שמתבקשת היא: איזה צבע הפונקציה תתאים להם, האם את הצבע בעין הימנית או שמה את הצבע שבעין השמאלית. התשובה היא שהפונקציה לא תהיה מוגדרת עליהם. היא לא תיפעל עליהם כי היא לא יכולה להתאים צבע יחיד כפי שהוגדרה. קיימים יצורים בטבע שיכולים להתאים שני צבעים אך הם לא נקראים פונקציות, יש להם שמות אחרים.
הפונקציות שלומדים בתיכון הן גם פונקציות כפי שהוגדרו למעלה, פשוט בדרך כלל לא מציינים את הקבוצות, מניחים שזה מובן מאליו שהקבוצות אלו המספרים הממשיים.
אתן דוגמה
נגיד את קבוצת התחום וקבוצת הטווח להיות כל המספרים הממשיים (2, פאי, 7/9 וכו')
נגדיר את הפונקציה להיות הכלל שמתאים לכל איבר בתחום איבר שגדול ממנו ב- 2 שנמצא בטווח. ובצורה יותר מתמטית מסמנית את הפונקציה ב- f מהמילה הלועזית פאנקטיון (function) איבר מהתחום יסומן ב- x ואיבר מהטווח יסומן ב- y ואז נוכל לכתוב f(x) = x + 2
ואז f(x) = y.
שוב, זאת פונקציה כיוון שהיא מקיימת את ההגדרה מלמעלה, תנאי 1 אומר כל איבר בתחום, ובאמת ניתן לכתוב כל איבר ממשי במקום x, ותנאי 2 אומר שמתאים איבר יחיד, וזה אכן מתקיים, כי למספר 2 מתאים המספר 4, ואין עוד מספר שמתאים לו, ולמספר 103 מתאים המספר 105 וזהו, ובאופן כללי למספר x מתאים המספר x + 2 ואין עוד מספר אחר שמתאים לו.
דוגמה למשהו שאיננו פונקציה
ניקח שוב את קבוצת התחום ואת קבוצת הטווח להיות כל המספרים הממשיים, אבל הפעם ניקח את הפונקציה להיות 2 חלקי איבר בתחום. כלומר f(x) = 2/x
עד כמה שזה מבלבל זאת איננה פונקציה כיוון שהתנאי הראשון אינו מתקיים, לפי התנאי הראשון כל איבר בתחום חייב להיות מותאם למישהו, אך התחום כפי שהגדרנו אותו כולל גם את המספר 0, אך אף מספר בטווח (הטווח - קבוצת כל המספרים הממשיים) לא מותאם לאפס, כי לא ניתן לחלק ב- 0, ולכן זאת איננה פונקציה.
אני מקווה שכעת נושא הפונקציות קצת יותר מובן.
בהצלחה !
באותו הנושא: