תשובה אחת
|----------------------------------------|
עיר א................................עיר ב'
----------------->.......<-------------
יאיר.................................משה
נתון: לאחר 4 שעות יאיר היה במרחק של 40 ק"מ מעיר א. לפי הנוסחה מהירות=דרך/זמן, מהירותו של יאיר היא 40/4 = 10 קמ"ש.
נשרטט מערכת צירים שציר ה x שלה הוא הזמן וציר ה y שלה הוא המרחק, כך שעיר א' תימצא בנק' (0,0).
ידוע כי לאחר 3 שעות משה היה במרחק 105 ק"מ מעיר א, כלומר הגרף שמתאר את תנועתו של משה עובר דרך הנק' (105, 3)
וידוע גם כי לאחר 5 שעות משה היה במרחק 75 ק"מ מעיר א, כלומר הגרף שמתאר את תנועתו של משה עובר דרך הנק' (75, 5)
א. מצאנו כי מהירותו של יאיר היא 10 קמ"ש, ולכן שיפוע הגרף שמתאר את תנועתו של יאיר הוא 10. נתון כי יאיר יוצא מעיר א, שאותה סימנו כראשית הצירים(0,0).
נשתמש בנוסחה של משוואת ישר כדי למצוא את הייצוג האלגברי של הישר המתאר את תנועתו של יאיר:
y = mx + b
m = 10(שיפוע הישר = מהירותו של יאיר)
y = 10x + b
יאיר יוצא מעיר א' שהיא הנק' (0,0) במערכת הצירים שסימנו, ולכן הגרף שמתאר את תנועתו של יאיר עובר דרך הנק' (0,0).
נציב במשוואת הישר שמצאנו x = 0 ו y = 0 כדי למצוא את b:
i 0 = 10*0 + b
b = 0
ולכן הייצוג האלגברי של הישר שמתאר את מרחקו של יאיר מעיר א' הוא:
y = 10x.
ב. כדי למצוא את הייצוג האלגברי של הישר שמתאר את מרחקו של משה מעיר א', ראשית יש למצוא את השיפוע של הישר ע"י שימוש בנוסחה:
(m = (y2-y1)/(x2-x1.
מצאנו כי הישר שמתאר את תנועתו של משה עובר דרך הנקודות: (3,105), (5,75).
נשתמש בנק' אלה כדי למצוא את שיפוע הישר המתאר את תנועתו של משה:
m = (105-75)/(3-5) = 30/(-2) = -15
עכשיו, ניתן להציב את השיפוע בנוסחה של משוואת ישר y = mx + b:
y = -15x + b
נציב את אחת הנק' שהישר שמתאר את תנועתו של משה עובר דרכן כדי למצוא את b. אני אבחר להציב את הנק' (5,75):
(x = 5, y = 75):
i 75 = -15*5 + b
i 75 = -75 + b
b = 150
||
||
v
משוואת הישר שמתאר את המרחק של משה מעיר א' היא:
y = -15x + 150
ג. כדי למצוא אחרי כמה זמן נפגשו הרוכבים, צריך להשוות בין הייצוגים האלגבריים שקיבלנו בסעיפים א' ו- ב':
10x = -15x + 150
25x = 150
x = 6
הרוכבים נפגשו לאחר 6 שעות.
כדי למצוא את מרחקם מעיר א' בנק' זו, צריך להציב x=6 באחד הייצוגים האלגביים שקיבלנו(לא משנה איזה). אני אבחר להציב בייצוג האלגברי של יאיר:
y(6) = 10*6 = 60
תשובה: מרחקם של הרוכבים מעיר א' היה 60 ק"מ ברגע פגישתם.
ד. מהירות רכיבתו של יאיר מצאנו מקודם- 10 קמ"ש. מהירות רכיבתו של משה שווה לערך המוחלט של שיפוע הגרף המתאר את תנועתו: |-15| = 15 קמ"ש
משום ששיפוע הגרף מייצג את המהירות אך כידוע, מהירות לא יכולה להיות שלילית, לכן יש לסמן בערך מוחלט.
ה. החיתוך של הגרף שמתאר את תנועתו של משה עם ציר ה y הוא הנקודה שבה נמצאת עיר ב'(משום שמשה יצא מעיר ב' ברגע x=0). שיעור ה y של נק' זו מתאר את המרחק של עיר ב מעיר א- וכדי למצוא אותו יש להציב x=0 בייצוג האלגברי שמתאר את תנועתו של משה:
y(0) -15*0 + 150 = 150
תשובה: המרחק בין שני הערים הוא 150 ק"מ.
ו. עכשיו כשידוע לנו המרחק מעיר א לעיר ב, ואת המהירות של משה, נוכל למצוא את הזמן שלקח לו לעבור את המרחק בין שני הערים לפי הנוסחה של זמן שווה לדרך חלקי מהירות:
הזמן שלמשה לקח לעבור את המרחק בין שני הערים = 150/15 = 10 שעות.
ידוע כי משה יצא בשעה 6:00. נוסיף 10 שעות לשעה זאת כדי למצוא באיזו שעה משה הגיע לעיר א':
6:00 + 10 = 16:00
תשובה: משה הגיע לעיר א' בשעה 16:00
עיר א................................עיר ב'
----------------->.......<-------------
יאיר.................................משה
נתון: לאחר 4 שעות יאיר היה במרחק של 40 ק"מ מעיר א. לפי הנוסחה מהירות=דרך/זמן, מהירותו של יאיר היא 40/4 = 10 קמ"ש.
נשרטט מערכת צירים שציר ה x שלה הוא הזמן וציר ה y שלה הוא המרחק, כך שעיר א' תימצא בנק' (0,0).
ידוע כי לאחר 3 שעות משה היה במרחק 105 ק"מ מעיר א, כלומר הגרף שמתאר את תנועתו של משה עובר דרך הנק' (105, 3)
וידוע גם כי לאחר 5 שעות משה היה במרחק 75 ק"מ מעיר א, כלומר הגרף שמתאר את תנועתו של משה עובר דרך הנק' (75, 5)
א. מצאנו כי מהירותו של יאיר היא 10 קמ"ש, ולכן שיפוע הגרף שמתאר את תנועתו של יאיר הוא 10. נתון כי יאיר יוצא מעיר א, שאותה סימנו כראשית הצירים(0,0).
נשתמש בנוסחה של משוואת ישר כדי למצוא את הייצוג האלגברי של הישר המתאר את תנועתו של יאיר:
y = mx + b
m = 10(שיפוע הישר = מהירותו של יאיר)
y = 10x + b
יאיר יוצא מעיר א' שהיא הנק' (0,0) במערכת הצירים שסימנו, ולכן הגרף שמתאר את תנועתו של יאיר עובר דרך הנק' (0,0).
נציב במשוואת הישר שמצאנו x = 0 ו y = 0 כדי למצוא את b:
i 0 = 10*0 + b
b = 0
ולכן הייצוג האלגברי של הישר שמתאר את מרחקו של יאיר מעיר א' הוא:
y = 10x.
ב. כדי למצוא את הייצוג האלגברי של הישר שמתאר את מרחקו של משה מעיר א', ראשית יש למצוא את השיפוע של הישר ע"י שימוש בנוסחה:
(m = (y2-y1)/(x2-x1.
מצאנו כי הישר שמתאר את תנועתו של משה עובר דרך הנקודות: (3,105), (5,75).
נשתמש בנק' אלה כדי למצוא את שיפוע הישר המתאר את תנועתו של משה:
m = (105-75)/(3-5) = 30/(-2) = -15
עכשיו, ניתן להציב את השיפוע בנוסחה של משוואת ישר y = mx + b:
y = -15x + b
נציב את אחת הנק' שהישר שמתאר את תנועתו של משה עובר דרכן כדי למצוא את b. אני אבחר להציב את הנק' (5,75):
(x = 5, y = 75):
i 75 = -15*5 + b
i 75 = -75 + b
b = 150
||
||
v
משוואת הישר שמתאר את המרחק של משה מעיר א' היא:
y = -15x + 150
ג. כדי למצוא אחרי כמה זמן נפגשו הרוכבים, צריך להשוות בין הייצוגים האלגבריים שקיבלנו בסעיפים א' ו- ב':
10x = -15x + 150
25x = 150
x = 6
הרוכבים נפגשו לאחר 6 שעות.
כדי למצוא את מרחקם מעיר א' בנק' זו, צריך להציב x=6 באחד הייצוגים האלגביים שקיבלנו(לא משנה איזה). אני אבחר להציב בייצוג האלגברי של יאיר:
y(6) = 10*6 = 60
תשובה: מרחקם של הרוכבים מעיר א' היה 60 ק"מ ברגע פגישתם.
ד. מהירות רכיבתו של יאיר מצאנו מקודם- 10 קמ"ש. מהירות רכיבתו של משה שווה לערך המוחלט של שיפוע הגרף המתאר את תנועתו: |-15| = 15 קמ"ש
משום ששיפוע הגרף מייצג את המהירות אך כידוע, מהירות לא יכולה להיות שלילית, לכן יש לסמן בערך מוחלט.
ה. החיתוך של הגרף שמתאר את תנועתו של משה עם ציר ה y הוא הנקודה שבה נמצאת עיר ב'(משום שמשה יצא מעיר ב' ברגע x=0). שיעור ה y של נק' זו מתאר את המרחק של עיר ב מעיר א- וכדי למצוא אותו יש להציב x=0 בייצוג האלגברי שמתאר את תנועתו של משה:
y(0) -15*0 + 150 = 150
תשובה: המרחק בין שני הערים הוא 150 ק"מ.
ו. עכשיו כשידוע לנו המרחק מעיר א לעיר ב, ואת המהירות של משה, נוכל למצוא את הזמן שלקח לו לעבור את המרחק בין שני הערים לפי הנוסחה של זמן שווה לדרך חלקי מהירות:
הזמן שלמשה לקח לעבור את המרחק בין שני הערים = 150/15 = 10 שעות.
ידוע כי משה יצא בשעה 6:00. נוסיף 10 שעות לשעה זאת כדי למצוא באיזו שעה משה הגיע לעיר א':
6:00 + 10 = 16:00
תשובה: משה הגיע לעיר א' בשעה 16:00
באותו הנושא: