6 תשובות
אני חושבת שכן
שאלה טובה..
לא
אולי יש חייזרים
אולי יש בני אדם בגלקסיה אחרת שאפילו לא הגענו אליה
וגם בעוד כמה מיליארדי שנים היקום יתחיל להתכווץ והוא יגיע לנקודה אחת ואז יהיה עוד מפץ גדול שיהפוך ליקום עם אנשים וכאלה
אולי יש חייזרים
אולי יש בני אדם בגלקסיה אחרת שאפילו לא הגענו אליה
וגם בעוד כמה מיליארדי שנים היקום יתחיל להתכווץ והוא יגיע לנקודה אחת ואז יהיה עוד מפץ גדול שיהפוך ליקום עם אנשים וכאלה
שואל השאלה:
אני מדבר על עכשיו. לא על גלקסיה אחרת או התכווצות או משהו כזה
אני מדבר על עכשיו. לא על גלקסיה אחרת או התכווצות או משהו כזה
אנונימי
ממש לא נכון הדבר הראשון שעלה לאנשים פה.
ולמי שבאמת מתעניין באופי של אינסוף ומוכן לראות תשובה אמיתית בבקשה תהיו סבלניים לקרוא את כל זה.
צפיפות היא ערך שאנחנו נותנים לגופים/נפחים סופיים בגודל.
צפיפות של גוף, של איזור במרחב, נקבעת לפי ההגדרה שאנחנו נתנו.
היות ולא יצא לנו במסגרת התיכון לפחות להגדיר את המונח הזה עבור נפחים אינסופיים, אז פשוט מבחינתנו אין לשאלה "מהיא צפיפות מרחב שנפחו אינסופי" משמעות.
מה שכן, הרבה פעמים במתמטיקה כן אפשר להרחיב הגדרות שאנחנו נותנים לדברים סופיים כאשר מדובר על דברים אינסופיים.
לדוגמא סכום: אני יכול לדבר על סכום של האיברים 1, 2, ו-3. שהוא יהיה 1+2+3 = 6 ועל כל קבוצה סופית של מספרים אני יכול לדבר על הסכום שלה וזה די ברור. אבל מה הסכום של סדרה אינסופית? איך בכלל אפשר לתת לזה משמעות?
מה עם הסדרה: אחד, חצי, רבע, שמינית, אחד חלקי שש עשרה, אחד חלקי 32, וכן הלאה עד אינסוף... מה הסכום שלה?
מתמטיקאים מצאו דרך רחבה יותר להסתכל על סכומים ובאמצעות תחום שנקרא חשבון אינפיניטסימלי, ולפעמים נקרא גם חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. כך שהסכום האינסופי הזה הגיוני לחשוב עליו בתור הערך הסופי 2.
אני לא חושב שעם צפיפות זה יהיה שונה במיוחד.
לפי דעתי הדרך הנכונה לגשת לזה היא לפנות לחדוא.
במתמטיקה הרבה פעמים כדי לדבר על סכומים אינסופיים נוח לפעמים לדבר על סדרות של סכומים סופיים שכל אחת מהן מתקרבת יותר ויותר.
כלומר כדי להבין מה זה אחד ועוד חצי ועוד רבע וכן הלאה עד אינסוף, אני שואל את עצמי מה זה אחד ועוד חצי? שזה פשוט אחד וחצי.
מה זה אחד ועוד חצי ועוד רבע? זה אחד ושלושה רבעים.
מה זה אחד ועוד חצי ועוד רבע ועוד שמינית? זה אחד ושבע שמיניות.
וכל פעם אני רואה שאני מתקרב יותר ויותר ל2. וכמובן שבמתמטיקה כל הדבר הזה מוגדר הרבה יותר מדוייק ויפה ואפשר לדבר שם על הוכחות אבל זו התמונה הכללית.
אז ככה אפשר גם לעשות עם צפיפות של נפח אינסופי.
אנחנו חושבים על נפח אינסופי תיאורתי כלשהו. איך נאמר מה הצפיפות שלו?
ניקח נפח סופי קטן ואנחנו יודעים לחשב את הצפיפות שלו ונחשב אותה וקיבלנו מספר סופי.
ניקח נפח גדול יותר שמכיל את הנפח הקודם ונחשב את הצפיפות שלו. קיבלנו גם כאן מספר סופי.
נחזור על הפעולה הזאת שוב ושוב ושוב... ונראה לאיזה ערך אנחנו מתקרבים בדיוק.
ואז (עם קצת דיוק ויופי מתמטי) נאמר למה שווה הצפיפות האינסופית.
וזה לאוו דווקא יהיה 0, לפי מה שתחושת הבטן שלכם חושבת.
כמו שסכום אינסופי לאוו דווקא יהיה "אינסוף" בדומה לאותה תחושת בטן.
הערה קטנה: האופן בו אנחנו בוחרים את הנפחים שמכילים את הנפחים הקודמים יכול להשפיע על הערך הסופי שנקבל ולכן זה לא כזה פשוט ויש פה עניין טיפה עמוק יותר שצריך לגרד לפני שמבינים על מה מדובר. אבל יחד עם זאת זה עדיין כיוון מחשבה מאוד הגיוני לפעול לפיו אם לומדים נושאים מסויימים במתמטיקה.
ולמי שבאמת מתעניין באופי של אינסוף ומוכן לראות תשובה אמיתית בבקשה תהיו סבלניים לקרוא את כל זה.
צפיפות היא ערך שאנחנו נותנים לגופים/נפחים סופיים בגודל.
צפיפות של גוף, של איזור במרחב, נקבעת לפי ההגדרה שאנחנו נתנו.
היות ולא יצא לנו במסגרת התיכון לפחות להגדיר את המונח הזה עבור נפחים אינסופיים, אז פשוט מבחינתנו אין לשאלה "מהיא צפיפות מרחב שנפחו אינסופי" משמעות.
מה שכן, הרבה פעמים במתמטיקה כן אפשר להרחיב הגדרות שאנחנו נותנים לדברים סופיים כאשר מדובר על דברים אינסופיים.
לדוגמא סכום: אני יכול לדבר על סכום של האיברים 1, 2, ו-3. שהוא יהיה 1+2+3 = 6 ועל כל קבוצה סופית של מספרים אני יכול לדבר על הסכום שלה וזה די ברור. אבל מה הסכום של סדרה אינסופית? איך בכלל אפשר לתת לזה משמעות?
מה עם הסדרה: אחד, חצי, רבע, שמינית, אחד חלקי שש עשרה, אחד חלקי 32, וכן הלאה עד אינסוף... מה הסכום שלה?
מתמטיקאים מצאו דרך רחבה יותר להסתכל על סכומים ובאמצעות תחום שנקרא חשבון אינפיניטסימלי, ולפעמים נקרא גם חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. כך שהסכום האינסופי הזה הגיוני לחשוב עליו בתור הערך הסופי 2.
אני לא חושב שעם צפיפות זה יהיה שונה במיוחד.
לפי דעתי הדרך הנכונה לגשת לזה היא לפנות לחדוא.
במתמטיקה הרבה פעמים כדי לדבר על סכומים אינסופיים נוח לפעמים לדבר על סדרות של סכומים סופיים שכל אחת מהן מתקרבת יותר ויותר.
כלומר כדי להבין מה זה אחד ועוד חצי ועוד רבע וכן הלאה עד אינסוף, אני שואל את עצמי מה זה אחד ועוד חצי? שזה פשוט אחד וחצי.
מה זה אחד ועוד חצי ועוד רבע? זה אחד ושלושה רבעים.
מה זה אחד ועוד חצי ועוד רבע ועוד שמינית? זה אחד ושבע שמיניות.
וכל פעם אני רואה שאני מתקרב יותר ויותר ל2. וכמובן שבמתמטיקה כל הדבר הזה מוגדר הרבה יותר מדוייק ויפה ואפשר לדבר שם על הוכחות אבל זו התמונה הכללית.
אז ככה אפשר גם לעשות עם צפיפות של נפח אינסופי.
אנחנו חושבים על נפח אינסופי תיאורתי כלשהו. איך נאמר מה הצפיפות שלו?
ניקח נפח סופי קטן ואנחנו יודעים לחשב את הצפיפות שלו ונחשב אותה וקיבלנו מספר סופי.
ניקח נפח גדול יותר שמכיל את הנפח הקודם ונחשב את הצפיפות שלו. קיבלנו גם כאן מספר סופי.
נחזור על הפעולה הזאת שוב ושוב ושוב... ונראה לאיזה ערך אנחנו מתקרבים בדיוק.
ואז (עם קצת דיוק ויופי מתמטי) נאמר למה שווה הצפיפות האינסופית.
וזה לאוו דווקא יהיה 0, לפי מה שתחושת הבטן שלכם חושבת.
כמו שסכום אינסופי לאוו דווקא יהיה "אינסוף" בדומה לאותה תחושת בטן.
הערה קטנה: האופן בו אנחנו בוחרים את הנפחים שמכילים את הנפחים הקודמים יכול להשפיע על הערך הסופי שנקבל ולכן זה לא כזה פשוט ויש פה עניין טיפה עמוק יותר שצריך לגרד לפני שמבינים על מה מדובר. אבל יחד עם זאת זה עדיין כיוון מחשבה מאוד הגיוני לפעול לפיו אם לומדים נושאים מסויימים במתמטיקה.
^^^ אחי אתה יכול לכתוב לי עבודות לבית ספר?