האם בנוסף לחוגר צריך להסתובב עם ת"ז?

תעודת חוגר לא מחליפה תעודת זהות.

לא. חוגר זאת התעודת זהות שלך לשירות הצבאי ותוכל להשתמש בו בתור תעודת זהות.
רק במידה ויש בחירות לראשת העיר/ממשלה יש צורך בתעודת זהות.

לא, אבל היא לא נחשבת תעודה מזהה לצורך נגיד כרטיס אשראי ועוד רישיון נהיגה כן

ברוב המקרים, אתה לא צריך "תעודת זהות" אלא "תעודה מזהה".
תחת ההגדרה הזאת, נכנסת כל תעודה רשמית שהונפקה לך על ידי משרד ממשלתי (בין אם זה משרד הפנים, משרד התחבורה או משרד הבטחון) ולמעשה היא כוללת:
- תעודת זהות
- דרכון (או תעודת מעבר)
- כרטיס חוגר/קצין
- רישיון נהיגה
- תעודת שוטר
ועוד מספר תעודות רשמיות שמונפקות על ידי גופים ממשלתיים ומכילים תמונה ות. ז.

יש מספר מקרים בהם אתה נדרש במפורש להביא תעודה ספציפית ואז אין לך ברירה. למשל:
בנקים, בעת פתיחת חשבון, דורשים ת. ז.
בשדה התעופה, מן הסתם ידרשו ממך דרכון ולא יסתפקו בחוגר.
כך שאם מדובר על מקרה ספציפי - עדיף לך לברר מה להביא אתך מראש. ביום-יום, אין סיבה לסחוב אתך את כל המסמכים האפשריים, ולרוב מספיק תעודה מזהה כלשהי.

מקווה שעזרתי:)