האם צריך להסתובב עם ת"ז בנוסף לחוגר?

אין צורך.
חוגר זה גם תעודה מזהה

לא צריך. התעודת זהות שלך בצבא זה החוגר

חייבים בגדול פריט זיהוי מסויים.
לדעתי כחיל חוגר לא אמור להוות בעיה.
בגדול חייב שיהיו את כל הפרטים המזהים עליך.
מס' זהות, כתובת, שם ומשפחה ותאריך לידה.