תשובה אחת
סדרה הנדסית אינסופית זוהי סדרה אינסופית שהיחס בין כל איבר לאיבר הקודם לו הוא קבוע. לדוגמה:
1,2,4,8,16,32,64,128,256,..
זוהי סדרה הנדסית אינסופית משום שהיא אינסופית והיחס בין כל איבר לבין האיבר הקודם לו הוא 2.
יש כמובן סדרות אינסופיות לא הנדסיות כמו
1,2,3,4,5,6,..
או פשוט
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,..
חזרה לסדרות הנדסיות, סדרות שכל איבר גדול מקודמו פי q, יחס קבוע.
כאשר אותו היחס, q, בין 1- ל-1 קורה משהו מיוחד, הטור של כל איברי הסדרה מתכנס. רגע, מה זה טור? טור זה המושג המתמטי של חיבור איברי סדרה אינסופית, לדוגמה יש גם טור כזה: 1+2+3+4+5+.. ויש טור כזה: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+.. בסדרה הראשונה חיברתי את איברי הסדרה 1,2,3,4,5,... ובמקרה השני חיברתי את איברי הסדרה 1,1/2,1/4,1/8,1/16,.. מה ההבדל בין 2 הדוגמאות שציינתי? ובכן, בדוגמה הראשונה כל איבר שאת מחברת אז הסכום נהיה יותר ויותר גדול והוא "שואף לאינסוף" (ואז אומרים שהטור "מתבדר") ובמקרה השני כל איבר שאת מחברת את רק מתקרבת יותר ויותר ל-2, וכיוון שאת מתקרבת יותר ויותר למספר אומרים שהטור הזה "מתכנס".
עכשיו נחזור למשפט שאמרתי בהתחלה: אם יש לך סדרה הנדסית ש- q בין 1- ל- 1, אז הטור של איברי הסדרה (החיבור של כל האיברים) הוא טור מתכנס, כלומר כל פעם שאת מחברת עוד איבר מהסדרה את מתקרבת למספר מסוים.
לאיזה מספר את מתקרבת יותר ויותר? מה שנוח בטור של סדרה הנדסית זה שיש נוסחה פשוטה לדעת לאן הטור שואף, אם q לא בין 1- ל-1 אז הסכום לא מתקרב לכלום (הטור מתבדר) ואם הוא כן אז הסכום מתקרב ל- (a1/ (1-q כאשר a1 זה האיבר הראשון בסדרה.
אז לדוגמה ב- 1+1/2+1/4+1/8+... נשים לב ש-q=1/2 והאיבר הראשון הוא 1 ולכן הסכום הולך ומתקרב ל- a1/ (1-q)=1/ (1-1/2)=2, כמו שציפינו!
אני מקווה שזה עזר להבין, אם משהו לא מובן את מוזמנת לשאול
1,2,4,8,16,32,64,128,256,..
זוהי סדרה הנדסית אינסופית משום שהיא אינסופית והיחס בין כל איבר לבין האיבר הקודם לו הוא 2.
יש כמובן סדרות אינסופיות לא הנדסיות כמו
1,2,3,4,5,6,..
או פשוט
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,..
חזרה לסדרות הנדסיות, סדרות שכל איבר גדול מקודמו פי q, יחס קבוע.
כאשר אותו היחס, q, בין 1- ל-1 קורה משהו מיוחד, הטור של כל איברי הסדרה מתכנס. רגע, מה זה טור? טור זה המושג המתמטי של חיבור איברי סדרה אינסופית, לדוגמה יש גם טור כזה: 1+2+3+4+5+.. ויש טור כזה: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+.. בסדרה הראשונה חיברתי את איברי הסדרה 1,2,3,4,5,... ובמקרה השני חיברתי את איברי הסדרה 1,1/2,1/4,1/8,1/16,.. מה ההבדל בין 2 הדוגמאות שציינתי? ובכן, בדוגמה הראשונה כל איבר שאת מחברת אז הסכום נהיה יותר ויותר גדול והוא "שואף לאינסוף" (ואז אומרים שהטור "מתבדר") ובמקרה השני כל איבר שאת מחברת את רק מתקרבת יותר ויותר ל-2, וכיוון שאת מתקרבת יותר ויותר למספר אומרים שהטור הזה "מתכנס".
עכשיו נחזור למשפט שאמרתי בהתחלה: אם יש לך סדרה הנדסית ש- q בין 1- ל- 1, אז הטור של איברי הסדרה (החיבור של כל האיברים) הוא טור מתכנס, כלומר כל פעם שאת מחברת עוד איבר מהסדרה את מתקרבת למספר מסוים.
לאיזה מספר את מתקרבת יותר ויותר? מה שנוח בטור של סדרה הנדסית זה שיש נוסחה פשוטה לדעת לאן הטור שואף, אם q לא בין 1- ל-1 אז הסכום לא מתקרב לכלום (הטור מתבדר) ואם הוא כן אז הסכום מתקרב ל- (a1/ (1-q כאשר a1 זה האיבר הראשון בסדרה.
אז לדוגמה ב- 1+1/2+1/4+1/8+... נשים לב ש-q=1/2 והאיבר הראשון הוא 1 ולכן הסכום הולך ומתקרב ל- a1/ (1-q)=1/ (1-1/2)=2, כמו שציפינו!
אני מקווה שזה עזר להבין, אם משהו לא מובן את מוזמנת לשאול