6 תשובות
איזה סעיף
שואל השאלה:
בנתיים הראשון
בנתיים הראשון
אפשר אולי עם דימיון
רדיוס od מאונך למשיק זה משפט
ואומרים שdc הוא קוטר במעגל נוסף שb נמצאת על ההיקף שלו, זאת אומרת שb זווית היקפית שנשענת על קוטר=>שווה 90 מעלות ולפי זה ולפי שאר הנתונים
רדיוס od מאונך למשיק זה משפט
ואומרים שdc הוא קוטר במעגל נוסף שb נמצאת על ההיקף שלו, זאת אומרת שb זווית היקפית שנשענת על קוטר=>שווה 90 מעלות ולפי זה ולפי שאר הנתונים
אולי עם משפט תאלס כי יש את ab וac ולשחק עם נעלמים קצת (של הרדיוס של המעגל בציור)
או גם למצוא את bc ולהשתמש בזה
שלב מקדים: זווית b במשולש
d נמצאת על הקוטר cd של המעגל הנוסף, ו-b נמצאת על היקפו של אותו מעגל. לפי משפט תאלס זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה, ולכן:
dbc = 90
אבל d נמצאת על הצלע ab (הקרן bd זהה לקרן ba), ולכן dbc = abc. כלומר:
**abc = 90**
מכאן, במשולש abc הישר-זווית (הזווית הישרה ב-b, היתר ac):
$$bc = \sqrt{ac^2 - ab^2} = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600-1024} = \sqrt{576} = 24 \text{ ס"מ}$$
(משולש 24-32-40, הרחבה פי 8 של 3-4-5).
## א. אורך ad
מהשרטוט, המעגל משיק ל-ab בנקודה d **וגם** נוגע ב-bc בנקודה c בדיוק (כלומר משיק גם ל-bc שם) כך ש-b היא נקודה חיצונית למעגל עם שני משיקים ממנה: אחד ל-d על ab, ואחד ל-c על bc.
לפי משפט שני המשיקים ממש נקודה חיצונית (הם שווים באורכם):
$$bd = bc = 24 \text{ ס"מ}$$
ולכן:
$$ad = ab - bd = 32 - 24 = \boxed{8 \text{ ס"מ}}$$
## ב. אורך am
ab משיקה למעגל ב-d, ו-ac היא חותך שפוגש את המעגל פעמיים ב-m (קרוב) וב-c (רחוק). לפי משפט העוצמה של נקודה ביחס למעגל (חוק המשיק-חותך):
$$ad^2 = am \cdot ac$$
$$8^2 = am \cdot 40 \quad\rightarrow\quad am = \frac{64}{40} = \boxed{1.6 \text{ ס"מ}}$$
## ג. שטח המרובע bdoc
- od ab (רדיוס למשיק מאונך לו בנקודת ההשקה) ולכן bdo = 90.
- oc bc (מאותה סיבה, ההשקה ב-c) ולכן ocb = 90.
- od = oc = רדיוס. וגם bd = bc = 24 (מסעיף א).
כלומר bdoc הוא מרובע עם ארבע צלעות שוות (bd=do=oc=cb=24) וזוויות ישרות ב-b וב-d כלומר **ריבוע** בצלע 24.
$$s_{bdoc} = 24^2 = \boxed{576 \text{ סמ"ר}}$$
d נמצאת על הקוטר cd של המעגל הנוסף, ו-b נמצאת על היקפו של אותו מעגל. לפי משפט תאלס זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה, ולכן:
dbc = 90
אבל d נמצאת על הצלע ab (הקרן bd זהה לקרן ba), ולכן dbc = abc. כלומר:
**abc = 90**
מכאן, במשולש abc הישר-זווית (הזווית הישרה ב-b, היתר ac):
$$bc = \sqrt{ac^2 - ab^2} = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{1600-1024} = \sqrt{576} = 24 \text{ ס"מ}$$
(משולש 24-32-40, הרחבה פי 8 של 3-4-5).
## א. אורך ad
מהשרטוט, המעגל משיק ל-ab בנקודה d **וגם** נוגע ב-bc בנקודה c בדיוק (כלומר משיק גם ל-bc שם) כך ש-b היא נקודה חיצונית למעגל עם שני משיקים ממנה: אחד ל-d על ab, ואחד ל-c על bc.
לפי משפט שני המשיקים ממש נקודה חיצונית (הם שווים באורכם):
$$bd = bc = 24 \text{ ס"מ}$$
ולכן:
$$ad = ab - bd = 32 - 24 = \boxed{8 \text{ ס"מ}}$$
## ב. אורך am
ab משיקה למעגל ב-d, ו-ac היא חותך שפוגש את המעגל פעמיים ב-m (קרוב) וב-c (רחוק). לפי משפט העוצמה של נקודה ביחס למעגל (חוק המשיק-חותך):
$$ad^2 = am \cdot ac$$
$$8^2 = am \cdot 40 \quad\rightarrow\quad am = \frac{64}{40} = \boxed{1.6 \text{ ס"מ}}$$
## ג. שטח המרובע bdoc
- od ab (רדיוס למשיק מאונך לו בנקודת ההשקה) ולכן bdo = 90.
- oc bc (מאותה סיבה, ההשקה ב-c) ולכן ocb = 90.
- od = oc = רדיוס. וגם bd = bc = 24 (מסעיף א).
כלומר bdoc הוא מרובע עם ארבע צלעות שוות (bd=do=oc=cb=24) וזוויות ישרות ב-b וב-d כלומר **ריבוע** בצלע 24.
$$s_{bdoc} = 24^2 = \boxed{576 \text{ סמ"ר}}$$
באותו הנושא: