זה בסדר לחתום בשם האחראי משמרת אחרי משמרת בהתנדבות?

לא.

הוא צריך לחתום

זה לא חוקי אז יעשו לך בעיות אם יבדקו עם האחראי שזה באמת קרה (גם אם זה קרה זה פשוט עלול לסבך אותך כי חתמת בשמו)