המורה שלי אמר בשביל למצוא פונקצייה זוגיות או אי זוגית

אוקיי, אז אני רק מחדד לגביהן
הנוסחאות האלו הן מבחן לפונקציה f(x), הן לא איזו משוואה חדשה, אלא תנאי שf(x) צריכה לקיים בשביל להיקרא זוגית/איזוגית.

זה כמו שאני אגיד שיש לשמעון a תפוזים, אם a-5>0 אז יש לשמעון יותר מ5 תפוזים, אחרת יש לו פחות או בדיוק 5 תפוזים.
אי השיוויון שכתבתי הוא לא בהכרח תמיד מתקיים, אבל כן הוא תנאי על a שאפשר להסיק ממנו משהו (המשהו תלוי באם התנאי מתקיים או לא).


חזרה למקרה שלנו, נגיד יש לנו f(x)=x^2 ונרצה לבדוק אם היא זוגית/איזוגית:

התנאי לזוגית: f(x)=f(-x)
אצלנו f(x)=x^2=(-x)^2=f(-x)
התנאי מתקיים, לכן f(x) שלנו היא זוגית.

התנאי לאיזוגיות: f(x)=-f(-x)
f(x)=x^2#-(-x)^2=-f(-x)
התנאי לא מתקיים, לכן הפונקציה היא לא איזוגית.

יצא שf(x)=x^2 היא זוגית.

נסי את אותו הדבר עם f(x)=x^3 ותראי שהיא איזוגית, ואם תנסי עם f(x)=x^2+1 אז היא לא זוגית ולא איזוגית.

עכשיו אנקדוטה מעניינת, בואי נראה אילו פונקציות הן גם זוגיות וגם איזוגיות.

התנאי לזוגיות: f(x)=f(-x)
התנאי לאיזוגיות: f(x)=-f(-x)

נקבל לפי כלל המעבר שf(-x)=-f(-x)
אם f(x) מוגדרת לכל מספר ממשי, אז נוכל להציב z=-x ולקבל f(z)=-f(z) לכל z ממשי.
מה הערך היחידי ששווה לנגדי שלו? 0
אז מתקיים שf(z)=-f(z)=0 לכל z ממשי.
בקיצור קיבלנו f(x)=0.

מסקנה: אם f(x) היא לא פונקציית ה0, אז היא לא יכולה להיות גם זוגית וגם איזוגית. מה שזה אומר הוא שאם גילינו למשל שf(x)=x^2 היא זוגית, אז אין טעם לבדוק אם היא איזוגית, כי ברור שהיא לא.

שואל השאלה:
הרגילות
נגיד של הזוגיות זה f(x)=f(-x)

איזה נוסחאות הוא נתן לכם?